Функциональный анализ: ответы на 73 билета

01Билет 1. Цепь. Лемма Цорна. Аксиома выбора.

Что отвечать на экзамене

Это билет про базовый язык частично упорядоченных множеств и принцип максимального элемента. Нужно объяснить, что такое частичный порядок, цепь, верхняя грань, максимальный элемент; сформулировать лемму Цорна и аксиому выбора, а также сказать, зачем они нужны в функциональном анализе: для построения максимальных объектов, прежде всего продолжения линейных функционалов в теореме Хана–Банаха и максимальных линейно независимых систем.

Определения

• Частично упорядоченное множество — пара $(P,\le)$, где отношение $\le$ рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
• Элементы $x,y\in P$ сравнимы, если $x\le y$ или $y\le x$.
• Цепь — подмножество $C\subset P$, в котором любые два элемента сравнимы.
• Верхняя грань цепи $C$ — элемент $u\in P$ такой, что $c\le u$ для всех $c\in C$.
• Максимальный элемент $m\in P$ — элемент, для которого из $m\le x$ следует $x=m$. Он не обязан быть наибольшим: с некоторыми элементами он может быть несравним.
• Наибольший элемент $M$ — элемент, для которого $x\le M$ для всех $x\in P$.

Ключевые факты и теоремы

• Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном множестве $(P,\le)$ всякая цепь имеет верхнюю грань в $P$, то в $P$ существует максимальный элемент.
• Аксиома выбора. Для любого семейства непустых множеств $\{X_\alpha\}_{\alpha\in A}$ существует функция выбора $f$, такая что $f(\alpha)\in X_\alpha$ для каждого $\alpha$.
• В обычной теории множеств аксиома выбора, лемма Цорна и принцип вполне упорядочения эквивалентны.
• Типичная схема применения леммы Цорна: определить множество частичных объектов; упорядочить его включением или продолжением; показать, что объединение любой цепи снова допустимый объект; получить максимальный объект; доказать, что максимальность даёт нужное глобальное свойство.

Примеры и антипримеры

• В множестве всех подпространств линейного пространства, упорядоченных включением, цепь — семейство вложенных подпространств. Верхняя грань такой цепи — объединение этих подпространств; оно снова подпространство, потому что любые два элемента лежат в одном из подпространств цепи.
• В доказательстве Хана–Банаха элементы упорядоченного множества — пары $(L,g)$, где $L$ — подпространство, а $g$ — линейный функционал на $L$, продолжающий исходный функционал и сохраняющий оценку. Максимальная пара даёт продолжение на всё пространство.
• Антипример к условию леммы Цорна: $P=\mathbb N$ с обычным порядком. Цепь $\mathbb N$ не имеет верхней грани в $\mathbb N$, и максимального элемента нет.
• Максимальный не значит наибольший: в $P=\{a,b\}$ с порядком только $a\le a$, $b\le b$ оба элемента максимальны, но наибольшего нет.

Типовые вопросы

• Чем максимальный элемент отличается от наибольшего?
• Почему объединение цепи подпространств является подпространством?
• Где в доказательстве Хана–Банаха используется лемма Цорна?
• Можно ли применять лемму Цорна, если верхняя грань есть только у конечных цепей? Нет: нужна верхняя грань всякой цепи.

02Билет 2. Метрическое пространство. Определение и основные примеры.

Что отвечать на экзамене

Нужно дать определение метрики, перечислить аксиомы, объяснить, что метрика позволяет говорить о сходимости, открытости, замкнутости и непрерывности без линейной структуры. Затем привести несколько стандартных пространств курса и указать их метрики.

Определения

Метрическое пространство — пара $(X,\rho)$, где $X$ — множество, а $\rho:X\times X\to[0,+\infty)$ удовлетворяет:

• $\rho(x,y)=0\iff x=y$;
• $\rho(x,y)=\rho(y,x)$;
• $\rho(x,y)\le \rho(x,z)+\rho(z,y)$ для всех $x,y,z\in X$.

Открытый шар с центром $x$ и радиусом $r>0$: $B(x,r)=\{y\in X:\rho(x,y)<r\}$.

Ключевые примеры

• $\mathbb R^n$ с евклидовой метрикой $\rho(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-y_k)^2}$.
• $\mathbb R^n$ с $p$-метрикой $\rho_p(x,y)=\left(\sum_{k=1}^n |x_k-y_k|^p\right)^{1/p}$, $p\ge1$; и с $\rho_\infty(x,y)=\max_k |x_k-y_k|$.
• $\ell_p$, $1\le p<\infty$: последовательности $x=(x_k)$ с $\sum |x_k|^p<\infty$, метрика $\rho(x,y)=\left(\sum |x_k-y_k|^p\right)^{1/p}$.
• $m=\ell_\infty$: ограниченные последовательности, $\rho(x,y)=\sup_k |x_k-y_k|$.
• $c$: сходящиеся последовательности с той же sup-метрикой.
• $c_0$: последовательности, стремящиеся к нулю, с sup-метрикой.
• $c_{00}$: финитные последовательности, например с $\ell_p$-метрикой или sup-метрикой.
• $C[a,b]$: непрерывные функции с $\rho(f,g)=\max_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)|$.
• $C^n[a,b]$: например $\rho(f,g)=\sum_{j=0}^n\max_{t\in[a,b]}|f^{(j)}(t)-g^{(j)}(t)|$.
• $L_2[a,b]$: классы измеримых функций с $\int_a^b |f|^2<\infty$, $\rho(f,g)=\left(\int_a^b |f-g|^2\,dt\right)^{1/2}$.
• Дискретная метрика: $\rho(x,y)=0$, если $x=y$, и $\rho(x,y)=1$, если $x\ne y$.

Ключевые факты

• Если на линейном пространстве есть норма $\|\cdot\|$, то $\rho(x,y)=\|x-y\|$ — метрика.
• Не всякая метрика получается из нормы: дискретная метрика на нетривиальном линейном пространстве обычно не однородна относительно умножения на скаляр.
• Для $\ell_p$ неравенство треугольника следует из неравенства Минковского.

Примеры и антипримеры

• $\rho(x,y)=|x-y|^2$ на $\mathbb R$ не является метрикой: для $x=0$, $y=2$, $z=1$ имеем $4\nleq 1+1$.
• $\rho(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ — метрика на $\mathbb R$, но она не эквивалентна обычной по полноте: последовательность $x_n=n$ фундаментальна в этой метрике и не сходится в $\mathbb R$.

Типовые вопросы

• Проверить, что заданная функция является метрикой.
• Какая сходимость задаётся sup-метрикой на $C[a,b]$? Равномерная.
• Какая сходимость задаётся метрикой $\sum 2^{-n}\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}$ на пространстве всех последовательностей? Покоординатная.

03Билет 3. Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия.

Что отвечать на экзамене

Нужно дать последовательностное и $\varepsilon$–$\delta$ определения непрерывности, сформулировать равномерную непрерывность и липшицевость, определить изометрию и объяснить, что изометрия сохраняет всю метрическую структуру.

Определения

Пусть $(X,\rho_X)$ и $(Y,\rho_Y)$ — метрические пространства.

• Отображение $f:X\to Y$ непрерывно в точке $x_0$, если для любого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$, такое что из $\rho_X(x,x_0)<\delta$ следует $\rho_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon$.
• $f$ непрерывно на $X$, если оно непрерывно в каждой точке.
• Последовательностный критерий: $f$ непрерывно в $x_0$ тогда и только тогда, когда из $x_n\to x_0$ следует $f(x_n)\to f(x_0)$.
• $f$ равномерно непрерывно, если $\delta$ зависит только от $\varepsilon$, а не от точки $x_0$.
• $f$ липшицево с константой $L$, если $\rho_Y(f(x),f(y))\le L\rho_X(x,y)$ для всех $x,y$.
• Изометрическое вложение — отображение $f:X\to Y$, сохраняющее расстояния: $\rho_Y(f(x),f(y))=\rho_X(x,y)$.
• Изометрия пространств — биективное изометрическое вложение.

Ключевые факты

• Липшицево отображение непрерывно; если $L<1$, то это сжатие.
• Изометрическое вложение инъективно: если $f(x)=f(y)$, то $\rho_X(x,y)=0$, значит $x=y$.
• Изометрия сохраняет сходимость, фундаментальность, полноту, открытые шары, компактность и диаметр множеств.
• Композиция непрерывных отображений непрерывна; композиция изометрий — изометрия.

Примеры и антипримеры

• Сдвиг $T_a(x)=x+a$ в нормированном пространстве — изометрия.
• Умножение на число $\lambda$ в нормированном пространстве сохраняет расстояния только при $|\lambda|=1$.
• Включение $c_0\hookrightarrow m$ с sup-метрикой — изометрическое вложение, но не изометрия на всё $m$.
• Отображение $f(x)=x^2$ на $\mathbb R$ непрерывно, но не равномерно непрерывно на всей $\mathbb R$.
• Отображение $f(x)=\sqrt{x}$ на $[0,1]$ равномерно непрерывно, но не липшицево с конечной константой на всём $[0,1]$.

Типовые вопросы

• Доказать непрерывность через последовательности.
• Проверить, является ли данное отображение изометрией.
• Почему изометричные пространства можно считать одинаковыми с точки зрения метрики?
• Сохраняет ли непрерывная биекция расстояния? Нет; для изометрии нужно точное сохранение расстояний.

04Билет 4. Сходимость. Открытые и замкнутые множества.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить сходимость последовательности в метрическом пространстве, открытые и замкнутые множества, связь замкнутости с пределами последовательностей и свойства операций над открытыми/замкнутыми множествами.

Определения

• $x_n\to x$ в $(X,\rho)$, если для любого $\varepsilon>0$ существует $N$, такое что при $n\ge N$ выполнено $\rho(x_n,x)<\varepsilon$.
• Множество $G\subset X$ открыто, если для каждой точки $x\in G$ существует $r>0$ такое, что $B(x,r)\subset G$.
• Множество $F\subset X$ замкнуто, если $X\setminus F$ открыто.
• Окрестность точки $x$ — любое множество, содержащее некоторый шар $B(x,r)$.

Ключевые факты

• В метрическом пространстве предел последовательности единственен.
• Шар $B(x,r)$ открыт; замкнутый шар $\overline B(x,r)=\{y:\rho(x,y)\le r\}$ замкнут.
• Произвольное объединение открытых множеств открыто; конечное пересечение открытых множеств открыто.
• Произвольное пересечение замкнутых множеств замкнуто; конечное объединение замкнутых множеств замкнуто.
• Последовательностный критерий замкнутости: $F$ замкнуто тогда и только тогда, когда из $x_n\in F$ и $x_n\to x$ следует $x\in F$.
• Непрерывность можно характеризовать топологически: $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества открыт; эквивалентно, прообраз каждого замкнутого множества замкнут.

Примеры и антипримеры

• В $\mathbb R$ интервалы $(a,b)$ открыты, $[a,b]$ замкнуты, $[a,b)$ ни открыт, ни замкнут.
• В любом метрическом пространстве $\varnothing$ и $X$ одновременно открыты и замкнуты.
• В дискретной метрике каждое множество открыто и замкнуто: для любой точки шар радиуса $<1$ состоит из одной точки.
• В $\mathbb Q$ как подпространстве $\mathbb R$ множество $\{q\in\mathbb Q:q^2<2\}$ одновременно открыто и замкнуто в $\mathbb Q$, хотя соответствующий разрез не является замкнутым в $\mathbb R$.

Типовые вопросы

• Доказать единственность предела через неравенство треугольника.
• Привести пример множества, не являющегося ни открытым, ни замкнутым.
• Объяснить, почему бесконечное пересечение открытых множеств может быть не открытым: $\cap_{n=1}^\infty(-1/n,1/n)=\{0\}$.
• Объяснить, почему бесконечное объединение замкнутых множеств может быть не замкнутым: $\cup_{n=1}^\infty[0,1-1/n)=[0,1)$ после замены на замкнутые $[0,1-1/n]$.

05Билет 5. Предельные точки. Замыкание.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить предельную точку, точку прикосновения, изолированную точку и замыкание множества. Важно различать: предельная точка требует точек множества, отличных от самой точки; точка замыкания может быть изолированной точкой множества.

Определения

Пусть $M\subset X$.

• Точка $x\in X$ называется точкой прикосновения множества $M$, если любая окрестность $x$ пересекает $M$.
• Точка $x$ называется предельной точкой множества $M$, если любая окрестность $x$ содержит точку $M$, отличную от $x$.
• Точка $x\in M$ изолирована в $M$, если существует $r>0$ такое, что $B(x,r)\cap M=\{x\}$.
• Замыкание $\overline M$ — множество всех точек прикосновения $M$.

Ключевые факты

• $x\in\overline M$ тогда и только тогда, когда $\rho(x,M)=0$, где $\rho(x,M)=\inf_{y\in M}\rho(x,y)$.
• В метрическом пространстве $x\in\overline M$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $x_n\in M$ такая, что $x_n\to x$.
• $M$ замкнуто тогда и только тогда, когда $M=\overline M$.
• $\overline M$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $M$; также $\overline M$ равно пересечению всех замкнутых множеств, содержащих $M$.
• Замыкание можно представить как $\overline M=M\cup M'$, где $M'$ — множество предельных точек.

Примеры и антипримеры

• В $\mathbb R$ для $M=(0,1)$: $\overline M=[0,1]$, предельные точки — все точки $[0,1]$.
• Для $M=\{1/n:n\in\mathbb N\}$ в $\mathbb R$: $0$ — предельная точка, каждая точка $1/n$ изолирована, $\overline M=M\cup\{0\}$.
• Для $M=\mathbb Q$ в $\mathbb R$: $\overline M=\mathbb R$, каждая точка $\mathbb R$ — предельная точка $\mathbb Q$.
• В дискретной метрике каждое множество замкнуто, и предельных точек у подмножеств нет.

Типовые вопросы

• Чем точка прикосновения отличается от предельной точки?
• Доказать последовательностный критерий замыкания.
• Найти замыкание $c_{00}$ в $\ell_p$ и в $m$: в $\ell_p$ при $1\le p<\infty$ замыкание равно $\ell_p$, а в $m$ с sup-нормой — $c_0$.
• Верно ли, что все точки множества являются предельными? Нет: изолированные точки не являются предельными.

06Билет 6. Плотные множества. Примеры. Сепарабельное пространство. Хаусдорфово пространство.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить плотность и сепарабельность, привести стандартные примеры сепарабельных и несепарабельных пространств. Затем дать определение хаусдорфовости и доказать, что всякое метрическое пространство хаусдорфово.

Определения

• Множество $M\subset X$ плотно в $X$, если $\overline M=X$.
• Эквивалентно: для любого $x\in X$ и любого $\varepsilon>0$ существует $m\in M$ такое, что $\rho(x,m)<\varepsilon$.
• Метрическое пространство сепарабельно, если в нём есть счётное всюду плотное подмножество.
• Топологическое пространство хаусдорфово, если для любых различных точек $x\ne y$ существуют непересекающиеся окрестности $U$ и $V$, где $x\in U$, $y\in V$.

Ключевые факты

• Всякое подмножество сепарабельного метрического пространства сепарабельно.
• В сепарабельном метрическом пространстве нельзя найти несчётное семейство попарно непересекающихся открытых шаров одинакового положительного радиуса.
• Всякое метрическое пространство хаусдорфово: если $x\ne y$, берём $r=\rho(x,y)/3$; тогда $B(x,r)\cap B(y,r)=\varnothing$.
• В хаусдорфовом пространстве предел последовательности, если он существует, единственен.

Примеры

• $\mathbb R^n$ сепарабельно: $\mathbb Q^n$ счётно и плотно.
• $\ell_p$, $1\le p<\infty$, сепарабельно: финитные последовательности с рациональными координатами плотны.
• $C[a,b]$ с sup-нормой сепарабельно: многочлены с рациональными коэффициентами плотны по теореме Вейерштрасса.
• $m=\ell_\infty$ не сепарабельно: множество всех $0$–$1$ последовательностей несчётно, а расстояние между любыми двумя различными такими последовательностями равно $1$; шары радиуса $1/3$ вокруг них попарно не пересекаются.
• $c_0$ сепарабельно, так как $c_{00}$ с рациональными координатами плотно в $c_0$.

Типовые вопросы

• Почему $\mathbb Q$ плотно в $\mathbb R$, а $\mathbb Z$ не плотно?
• Доказать несепарабельность $\ell_\infty$.
• Доказать, что метрическое пространство хаусдорфово.
• Связана ли сепарабельность с полнотой? Нет: $\mathbb Q$ сепарабельно, но неполно; $\mathbb R$ сепарабельно и полно.

07Билет 7. Расстояние от точки до множества.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить расстояние от точки до множества, сформулировать его основные свойства, связь с замыканием, непрерывность функции расстояния и привести примеры, где инфимум достигается и где не достигается.

Определения

Пусть $(X,\rho)$ — метрическое пространство, $A\subset X$, $A\ne\varnothing$. Расстояние от точки $x$ до множества $A$: $\rho(x,A)=\inf_{a\in A}\rho(x,a)$.

Если $A=\varnothing$, иногда полагают $\rho(x,A)=+\infty$, но в базовых задачах обычно рассматривают непустые множества.

Ключевые факты

• $\rho(x,A)\ge0$.
• $\rho(x,A)=0$ тогда и только тогда, когда $x\in\overline A$.
• Если $A$ замкнуто, то $\rho(x,A)=0$ тогда и только тогда, когда $x\in A$.
• Функция $d_A(x)=\rho(x,A)$ липшицева с константой $1$:

$|d_A(x)-d_A(y)|\le \rho(x,y)$. Доказательство: для любого $a\in A$ имеем $\rho(x,a)\le \rho(x,y)+\rho(y,a)$, значит $d_A(x)\le \rho(x,y)+d_A(y)$; меняем $x,y$ местами.

• В общем метрическом пространстве точка наилучшего приближения может не существовать: инфимум может не достигаться.

Примеры и антипримеры

• В $\mathbb R$, $A=(0,1)$: $\rho(2,A)=1$, но точка $1$ не лежит в $A$, поэтому минимум не достигается.
• В $\mathbb R$, $A=[0,1]$: $\rho(2,A)=1$ и минимум достигается в точке $1$.
• Если $A=\mathbb Q\subset\mathbb R$, то $\rho(x,A)=0$ для любого $x\in\mathbb R$, потому что $\mathbb Q$ плотно.
• В нормированном пространстве расстояние до подпространства $L$ равно $\rho(x,L)=\inf_{l\in L}\|x-l\|$ и используется для нормы в фактор-пространстве $E/L$.

Типовые вопросы

• Доказать $|\rho(x,A)-\rho(y,A)|\le\rho(x,y)$.
• Почему расстояние до незамкнутого множества может быть нулём вне самого множества?
• Всегда ли существует ближайшая точка? Нет; для незамкнутых множеств даже в $\mathbb R$ может не существовать.
• Чем расстояние до множества отличается от диаметра множества? Диаметр — $\sup_{a,b\in A}\rho(a,b)$.

08Билет 8. Открытые и замкнутые множества.

Что отвечать на экзамене

Этот билет дублирует часть билета 4, но акцент нужно сделать именно на топологии метрического пространства: база из шаров, операции над открытыми и замкнутыми множествами, относительная топология и примеры.

Определения

• $G\subset X$ открыто, если для каждой точки $x\in G$ найдётся $r>0$ с $B(x,r)\subset G$.
• $F\subset X$ замкнуто, если $X\setminus F$ открыто.
• Множество $U$ является окрестностью $x$, если существует $r>0$ такое, что $B(x,r)\subset U$.
• Относительно открытое множество в $Y\subset X$ имеет вид $Y\cap G$, где $G$ открыто в $X$.
• Относительно замкнутое множество в $Y$ имеет вид $Y\cap F$, где $F$ замкнуто в $X$.

Ключевые факты

• Открытые шары образуют базу топологии: всякое открытое множество является объединением открытых шаров.
• Замкнутые множества содержат пределы всех сходящихся последовательностей своих точек.
• $\overline A$ замкнуто; $\operatorname{int} A$ открыто.
• Граница множества: $\partial A=\overline A\setminus \operatorname{int}A=\overline A\cap\overline{X\setminus A}$.
• Множество может быть одновременно открытым и замкнутым. В связном пространстве $\mathbb R$ такими являются только $\varnothing$ и $\mathbb R$, но в дискретных пространствах — все множества.

Примеры и антипримеры

• В $\mathbb R$: $(0,1)$ открыто, $[0,1]$ замкнуто, $[0,1)$ ни открыто, ни замкнуто.
• В подпространстве $Y=[0,1]\subset\mathbb R$ множество $[0,1/2)$ открыто в $Y$, так как $[0,1/2)=Y\cap(-1/2,1/2)$.
• Множество $\{1/n:n\in\mathbb N\}$ не замкнуто в $\mathbb R$, потому что не содержит предельную точку $0$.
• В дискретной метрике все одноточечные множества открыты, а значит любое множество открыто; дополнение также открыто, значит любое множество замкнуто.

Типовые вопросы

• Доказать, что открытый шар открыт.
• Доказать, что замкнутый шар замкнут.
• Почему конечное пересечение открытых множеств открыто, а бесконечное может не быть открытым?
• Найти внутренность, замыкание и границу конкретного множества в $\mathbb R$ или в подпространстве.

09Билет 9. Полные метрические пространства. Определение и примеры. Доказательство полноты $C[a,b]$, $\ell_2$ и других важных примеров.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить фундаментальную последовательность и полноту, привести полные и неполные примеры, затем доказать полноту $C[a,b]$ с sup-метрикой и $\ell_2$. Основная идея: из последовательности Коши строится кандидат в предел, затем доказывается, что он лежит в пространстве и сходимость происходит в данной метрике.

Определения

• Последовательность $(x_n)$ фундаментальна, или является последовательностью Коши, если для любого $\varepsilon>0$ существует $N$, такое что при $n,m\ge N$ выполнено $\rho(x_n,x_m)<\varepsilon$.
• Метрическое пространство полно, если всякая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.
• Полное нормированное пространство называется банаховым.

Ключевые примеры

• Полные: $\mathbb R^n$, $\ell_p$ при $1\le p\le\infty$, $m$, $c$, $c_0$, $C[a,b]$ с sup-нормой, $C^k[a,b]$ с нормой суммы максимумов производных, $L_p$ при $p\ge1$.
• Неполные: $\mathbb Q$ с обычной метрикой; $C[a,b]$ с метрикой $\rho_2(f,g)=\left(\int_a^b |f-g|^2\right)^{1/2}$; $c_{00}$ в $\ell_p$.

Доказательство полноты $C[a,b]$ с sup-метрикой

Пусть $(f_n)$ — фундаментальная в $C[a,b]$ относительно $\|f\|_\infty=\max |f|$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существует $N$, что при $n,m\ge N$: $\|f_n-f_m\|_\infty<\varepsilon$. Отсюда для каждого $t\in[a,b]$ числовая последовательность $f_n(t)$ фундаментальна в $\mathbb R$, значит имеет предел. Определим $f(t)=\lim_{n\to\infty}f_n(t)$. Переходя в неравенстве $|f_n(t)-f_m(t)|<\varepsilon$ к пределу по $m$, получаем $|f_n(t)-f(t)|\le\varepsilon$ для всех $t$ и $n\ge N$. Значит $\|f_n-f\|_\infty\le\varepsilon$, то есть $f_n\to f$ равномерно. Равномерный предел непрерывных функций непрерывен, следовательно $f\in C[a,b]$. Значит $C[a,b]$ полно.

Доказательство полноты $\ell_2$

Пусть $x^{(n)}=(x^{(n)}_k)$ — фундаментальная последовательность в $\ell_2$. Для каждого фиксированного $k$: $|x^{(n)}_k-x^{(m)}_k|\le \|x^{(n)}-x^{(m)}\|_2$, значит $(x^{(n)}_k)_n$ фундаментальна в $\mathbb R$. Положим $x_k=\lim_n x^{(n)}_k$. Нужно доказать $x=(x_k)\in\ell_2$ и $x^{(n)}\to x$. Для $n,m\ge N$ имеем $\sum_{k=1}^M |x^{(n)}_k-x^{(m)}_k|^2\le\varepsilon^2$ для любого $M$. Переходя к пределу по $m$, получаем $\sum_{k=1}^M |x^{(n)}_k-x_k|^2\le\varepsilon^2$. Затем $M\to\infty$ даёт $\|x^{(n)}-x\|_2\le\varepsilon$. Отсюда $x=x^{(n)}-(x^{(n)}-x)\in\ell_2$ и $x^{(n)}\to x$.

Примеры и типовые вопросы

• Почему в доказательстве для $C[a,b]$ нужна sup-норма? Она даёт равномерную сходимость, сохраняющую непрерывность.
• Почему $\mathbb Q$ неполно? Рациональные приближения к $\sqrt2$ фундаментальны, но предела в $\mathbb Q$ нет.
• Почему $c_{00}$ неполно в $\ell_2$? Финитные усечения последовательности $(1/n)$ фундаментальны и сходятся в $\ell_2$, но предел не финитен.

10Билет 10. Теорема о вложенных шарах (формулировка).

Что отвечать на экзамене

Нужно сформулировать теорему о вложенных замкнутых шарах в полном метрическом пространстве, объяснить роль условия радиусов, стремящихся к нулю, и привести пример, почему полнота необходима.

Определения

Замкнутый шар: $\overline B(x,r)=\{y\in X:\rho(x,y)\le r\}$. Система шаров вложена, если $\overline B(x_{n+1},r_{n+1})\subset \overline B(x_n,r_n)$ для всех $n$.

Теорема о вложенных шарах

Пусть $(X,\rho)$ — полное метрическое пространство, и дана последовательность непустых замкнутых шаров $\overline B(x_1,r_1)\supset \overline B(x_2,r_2)\supset\cdots$, причём $r_n\to0$. Тогда пересечение всех шаров состоит ровно из одной точки: $\bigcap_{n=1}^\infty \overline B(x_n,r_n)=\{x\}$.

Пояснение доказательной идеи

Центры $x_n$ образуют фундаментальную последовательность: если $m\ge n$, то $x_m\in\overline B(x_n,r_n)$, значит $\rho(x_m,x_n)\le r_n\to0$. По полноте $x_n\to x\in X$. Так как каждый шар замкнут и все хвосты последовательности лежат в соответствующем шаре, предел $x$ лежит в каждом шаре. Единственность: если $x,y$ лежат во всех шарах, то $\rho(x,y)\le \rho(x,x_n)+\rho(x_n,y)\le 2r_n\to0$, значит $x=y$.

Ключевые замечания

• Условие $r_n\to0$ нужно для единственности. Без него пересечение может быть большим, например $[0,1]\supset[0,1]\supset\cdots$.
• Полнота нужна для существования точки пересечения.
• В более общей форме говорят о вложенных замкнутых множествах с диаметрами, стремящимися к нулю.

Примеры и антипримеры

• В $\mathbb R$ шары $[0,1/n]$ вложены, радиусы стремятся к нулю, пересечение равно $\{0\}$.
• В $\mathbb Q$ с обычной метрикой можно взять рациональные замкнутые интервалы, вложенные вокруг $\sqrt2$, с длинами, стремящимися к нулю. В $\mathbb Q$ их пересечение пусто, потому что предельная точка $\sqrt2$ не принадлежит $\mathbb Q$.

Типовые вопросы

• Почему центры вложенных шаров образуют последовательность Коши?
• Где используется замкнутость шаров?
• Что изменится, если радиусы не стремятся к нулю?
• Как теорема о вложенных шарах используется в доказательстве теоремы Бэра?

11Билет 11. Теорема Бэра (с доказательством).

Что отвечать на экзамене

Нужно определить нигде не плотное множество и множества первой/второй категории, затем сформулировать теорему Бэра и доказать её через вложенные шары. Главная мысль: полное метрическое пространство нельзя исчерпать счётным объединением «тонких» замкнутых нигде не плотных множеств.

Определения

• Множество $A\subset X$ нигде не плотно, если $\overline A$ не содержит непустого открытого шара. Эквивалентно: в любом непустом открытом шаре найдётся меньший шар, не пересекающий $A$.
• Множество первой категории — счётное объединение нигде не плотных множеств.
• Множество второй категории — множество, не являющееся множеством первой категории.

Теорема Бэра

Если $(X,\rho)$ — полное метрическое пространство, то $X$ является множеством второй категории в себе. Эквивалентная формулировка: если $G_n$ — открытые всюду плотные множества в полном метрическом пространстве $X$, то $\bigcap_{n=1}^\infty G_n$ всюду плотно в $X$.

Доказательство

Докажем эквивалентную форму. Возьмём произвольный непустой открытый шар $B_0\subset X$. Нужно показать, что он пересекает $\cap_n G_n$. Так как $G_1$ плотно и открыто, $B_0\cap G_1$ — непустое открытое множество. В нём можно выбрать замкнутый шар $\overline B_1=\overline B(x_1,r_1)\subset B_0\cap G_1$ с $r_1<1$. Далее, так как $G_2$ открыто и плотно, внутри $B_1\cap G_2$ выбираем замкнутый шар $\overline B_2\subset B_1\cap G_2$ с $r_2<1/2$. Продолжая, строим вложенные замкнутые шары $\overline B_1\supset\overline B_2\supset\cdots$, где $\overline B_n\subset G_n$ и $r_n<1/n$. По теореме о вложенных шарах в полном пространстве существует точка $x\in\cap_n \overline B_n$. Тогда $x\in B_0$ и для каждого $n$ выполнено $x\in\overline B_n\subset G_n$. Значит $B_0\cap\cap_nG_n\ne\varnothing$. Так как $B_0$ был произвольным, пересечение $\cap_nG_n$ плотно.

Из этой формы следует, что $X$ нельзя представить счётным объединением замкнутых нигде не плотных множеств: если $X=\cup_n F_n$, где $F_n$ замкнуты и нигде не плотны, то $G_n=X\setminus F_n$ открыты и плотны, поэтому $\cap_nG_n$ плотно и непусто. Но $\cap_nG_n=X\setminus\cup_nF_n=\varnothing$, противоречие.

Примеры и последствия

• $\mathbb R$ нельзя представить как счётное объединение нигде не плотных замкнутых множеств.
• $\mathbb Q$ является множеством первой категории в себе как счётное объединение одноточечных множеств, поэтому неполно в обычной метрике.
• Теорема Бэра лежит в основе принципа равномерной ограниченности, теоремы об открытом отображении и теоремы о замкнутом графике.

Типовые вопросы

• Где в доказательстве используется полнота? В применении теоремы о вложенных шарах.
• Почему дополнение к замкнутому нигде не плотному множеству открыто и плотно?
• Чем «плотное» отличается от «второй категории»? Плотность топологическая, категория описывает невозможность быть счётным объединением нигде не плотных множеств.

12Билет 12. Пополнение пространства. Доказательство теоремы о пополнении метрического пространства: алгебраический и аналитический способы.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить пополнение, сформулировать существование и единственность с точностью до изометрии, затем изложить два способа построения: через классы фундаментальных последовательностей и через изометрическое вложение в полное пространство ограниченных функций.

Определения

Пополнение метрического пространства $(X,\rho)$ — полное метрическое пространство $(\widetilde X,\widetilde\rho)$ вместе с изометрическим вложением $i:X\to\widetilde X$, таким что $i(X)$ плотно в $\widetilde X$.

Теорема

У всякого метрического пространства существует пополнение. Оно единственно с точностью до изометрии, тождественной на исходном пространстве: если $Y$ и $Z$ — два пополнения $X$, то существует единственная изометрия $\Phi:Y\to Z$, согласованная с вложениями $X$.

Алгебраический способ: классы последовательностей Коши

Рассмотрим множество всех фундаментальных последовательностей $x=(x_n)$ в $X$. Введём эквивалентность: $(x_n)\sim(y_n)$, если $\rho(x_n,y_n)\to0$. Пусть $\widetilde X$ — множество классов эквивалентности $[x_n]$. Метрика задаётся формулой $\widetilde\rho([x_n],[y_n])=\lim_{n\to\infty}\rho(x_n,y_n)$. Предел существует, потому что числовая последовательность $\rho(x_n,y_n)$ фундаментальна в $\mathbb R$: $|\rho(x_n,y_n)-\rho(x_m,y_m)|\le \rho(x_n,x_m)+\rho(y_n,y_m)$. Нужно проверить корректность относительно выбора представителей; она следует из неравенства треугольника и условия эквивалентности. Вложение $i:X\to\widetilde X$ задаётся постоянной последовательностью: $i(x)=[x,x,x,\dots]$. Оно изометрично. Плотность: класс $[x_n]$ приближается постоянными классами $i(x_n)$, так как $\widetilde\rho(i(x_n),[x_k])\to0$. Полнота доказывается диагональным выбором представителей для фундаментальной последовательности классов.

Аналитический способ: вложение Куратовского

Фиксируем $x_0\in X$ и каждому $x\in X$ сопоставим функцию $\varphi(x)(z)=\rho(x,z)-\rho(x_0,z)$. Эта функция ограничена, поскольку $|\rho(x,z)-\rho(x_0,z)|\le\rho(x,x_0)$. Поэтому $\varphi(x)\in B(X)$ — пространстве ограниченных функций на $X$ с sup-метрикой. Проверяем изометричность: $\|\varphi(x)-\varphi(y)\|_\infty=\sup_z |\rho(x,z)-\rho(y,z)|=\rho(x,y)$; неравенство $\le$ следует из треугольника, а равенство достигается, например, при $z=x$ или $z=y$. Пространство $B(X)$ полно. Берём $\widetilde X=\overline{\varphi(X)}\subset B(X)$. Замкнутое подмножество полного пространства полно, а $\varphi(X)$ плотно в своём замыкании. Это и есть пополнение.

Единственность

Пусть $Y$ и $Z$ — пополнения. Для $y\in Y$ выбираем последовательность $x_n\in X$ такую, что $i_Y(x_n)\to y$. Тогда $i_Z(x_n)$ фундаментальна в $Z$, значит сходится к некоторому $z$. Полагаем $\Phi(y)=z$. Корректность не зависит от выбора $x_n$, потому что расстояния сохраняются. Так получается изометрия $Y\to Z$.

Примеры

• Пополнение $\mathbb Q$ — $\mathbb R$.
• Пополнение $c_{00}$ по норме $\ell_p$ — $\ell_p$ при $1\le p<\infty$.
• Пополнение $C[a,b]$ по $L_2$-метрике — $L_2[a,b]$.

13Билет 13. Принцип сжимающих отображений: применения к интегральным уравнениям Фредгольма и Вольтерра, СЛАУ в разных метрических пространствах.

Что отвечать на экзамене

Нужно сформулировать теорему Банаха о неподвижной точке, доказательную схему и показать, как уравнение переписывается в виде $x=Ax$. Затем надо оценить коэффициент сжатия для интегральных операторов и для линейных систем.

Определения и теорема

Отображение $A:X\to X$ на метрическом пространстве называется сжимающим, если существует $q<1$ такое, что $\rho(Ax,Ay)\le q\rho(x,y)$ для всех $x,y\in X$.

Принцип сжимающих отображений. Если $(X,\rho)$ полно и $A:X\to X$ — сжатие, то существует единственная точка $x^*$ такая, что $Ax^*=x^*$. Более того, итерации $x_{n+1}=Ax_n$ сходятся к $x^*$ для любого $x_0$, и $\rho(x_n,x^*)\le\frac{q^n}{1-q}\rho(x_1,x_0)$.

Доказательная схема

Расстояния соседних итераций оцениваются как $\rho(x_{n+1},x_n)\le q^n\rho(x_1,x_0)$. Поэтому $\rho(x_m,x_n)\le\sum_{k=n}^{m-1}q^k\rho(x_1,x_0)\le\frac{q^n}{1-q}\rho(x_1,x_0)$, то есть $(x_n)$ фундаментальна. По полноте $x_n\to x^*$. Непрерывность $A$ даёт $Ax^*=x^*$. Единственность: если $Ax=x$ и $Ay=y$, то $\rho(x,y)\le q\rho(x,y)$, значит $x=y$.

Уравнение Фредгольма

Рассмотрим $f(x)=\lambda\int_a^b K(x,y)f(y)\,dy+\varphi(x)$ в $C[a,b]$ с sup-нормой. Задаём $(Af)(x)=\lambda\int_a^bK(x,y)f(y)\,dy+\varphi(x)$. Если $|K(x,y)|\le M$, то $\|Af-Ag\|_\infty\le |\lambda|M(b-a)\|f-g\|_\infty$. Значит $A$ — сжатие при $|\lambda|M(b-a)<1$, и уравнение имеет единственное непрерывное решение.

Уравнение Вольтерра

Для $f(x)=\lambda\int_a^xK(x,y)f(y)\,dy+\varphi(x)$ аналогичная оценка для $A$ может не дать коэффициент $<1$. Но для степеней оператора возникает факториал: $\|A^nf-A^ng\|_\infty\le\frac{(|\lambda|M(b-a))^n}{n!}\|f-g\|_\infty$. При достаточно большом $n$ коэффициент меньше $1$. Если $A^n$ имеет единственную неподвижную точку, то она является и единственной неподвижной точкой $A$: из $A^nx=x$ следует $A^n(Ax)=A(A^nx)=Ax$, значит $Ax=x$ по единственности.

СЛАУ

Систему $x=Bx+c$ рассматривают в $\mathbb R^n$ с выбранной нормой. Если операторная норма $\|B\|<1$, то $A(x)=Bx+c$ — сжатие и система имеет единственное решение, а простые итерации $x_{k+1}=Bx_k+c$ сходятся. В разных нормах критерии выглядят по-разному:

• в норме $\|x\|_\infty$: достаточно $\max_i\sum_j |b_{ij}|<1$;
• в норме $\|x\|_1$: достаточно $\max_j\sum_i |b_{ij}|<1$;
• в евклидовой норме: достаточно спектральной/операторной оценки $\|B\|_2<1$.

Типовые вопросы

• Почему требуется полнота пространства?
• Как выбрать пространство для интегрального уравнения?
• Чем отличается оценка Фредгольма от оценки Вольтерра?
• Почему сжатие имеет не более одной неподвижной точки?

14Билет 14. Понятие компактности. Предкомпактное множество. Примеры.

Что отвечать на экзамене

Нужно дать определения компактности в терминах покрытий и последовательностей, определить предкомпактность/относительную компактность, привести критерии в метрических пространствах и стандартные примеры из конечномерных и бесконечномерных пространств.

Определения

• Множество $K$ компактно, если из любого открытого покрытия $K\subset\cup_{\alpha}G_\alpha$ можно выбрать конечное подпокрытие.
• В метрических пространствах компактность эквивалентна секвенциальной компактности: из любой последовательности в $K$ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность с пределом в $K$.
• Множество $M$ относительно компактно, если $\overline M$ компактно.
• Множество $M$ предкомпактно, или вполне ограничено, если для любого $\varepsilon>0$ его можно покрыть конечным числом шаров радиуса $\varepsilon$.

Ключевые факты

• В полном метрическом пространстве множество относительно компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.
• Компактное множество в метрическом пространстве замкнуто и ограничено.
• В $\mathbb R^n$ верна теорема Гейне–Бореля: компактность равносильна замкнутости и ограниченности.
• В бесконечномерных нормированных пространствах замкнутость и ограниченность не гарантируют компактность.
• Непрерывный образ компакта компактен; непрерывная числовая функция на компакте достигает максимума и минимума и равномерно непрерывна.

Примеры и антипримеры

• $[a,b]$ компактен в $\mathbb R$.
• Замкнутый ограниченный шар в $\mathbb R^n$ компактен.
• Единичный шар в $\ell_2$ не компактен: последовательность базисных векторов $e_n$ лежит в шаре, но $\|e_n-e_m\|_2=\sqrt2$ при $n\ne m$, поэтому нет сходящейся подпоследовательности.
• Множество $\{e_n:n\in\mathbb N\}$ в $\ell_2$ ограничено, но не предкомпактно.
• Множество $\{0\}\cup\{e_n/n:n\in\mathbb N\}$ компактно в $\ell_2$: любая последовательность либо имеет постоянную подпоследовательность, либо стремится к $0$.

Типовые вопросы

• Почему компакт в метрическом пространстве ограничен?
• В чём разница между компактностью и предкомпактностью?
• Привести пример замкнутого ограниченного некомпактного множества.
• Почему в полном пространстве «предкомпактность + замкнутость» даёт компактность?

15Билет 15. Линейное пространство. Определение и примеры.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить линейное пространство над полем, перечислить основные аксиомы, привести примеры и не-примеры. Важно подчеркнуть, что линейное пространство — это алгебраическая структура; нормы, метрики и скалярные произведения являются дополнительными структурами.

Определения

Линейное, или векторное, пространство над полем $\mathbb F$ ($\mathbb R$ или $\mathbb C$) — множество $L$ с операциями сложения $x+y$ и умножения на скаляр $\alpha x$, удовлетворяющими аксиомам:

• коммутативность и ассоциативность сложения;
• существование нуля $0$ и противоположного элемента $-x$;
• $\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y$;
• $(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x$;
• $(\alpha\beta)x=\alpha(\beta x)$;
• $1x=x$.

Ключевые примеры

• $\mathbb R^n$ и $\mathbb C^n$.
• Пространство всех числовых последовательностей $s$.
• $m$, $c$, $c_0$, $c_{00}$, $\ell_p$ — линейные пространства при обычных операциях.
• $C[a,b]$, $C^n[a,b]$, $C^\infty[a,b]$.
• Пространства многочленов $\mathcal P$ и $\mathcal P_n$ степени не выше $n$.
• Пространство линейных отображений $L(E,F)$.

Не-примеры

• Множество векторов в $\mathbb R^2$ с положительными координатами не является линейным пространством: нет нуля и не замкнуто относительно умножения на отрицательные числа.
• Сфера $S^{n-1}=\{x:\|x\|=1\}$ не является линейным пространством: сумма двух точек сферы обычно не лежит на сфере.
• Множество многочленов степени ровно $n$ не является линейным пространством: сумма может иметь степень меньше $n$, а нулевой многочлен не имеет степени $n$.
• Множество решений неоднородной системы $Ax=b$ при $b\ne0$ не является подпространством, хотя является аффинным множеством.

Ключевые факты

• Линейная комбинация векторов $x_1,\dots,x_n$ — выражение $\sum_{k=1}^n\alpha_kx_k$.
• Линейная оболочка $\operatorname{span}M$ — множество всех конечных линейных комбинаций элементов $M$; это наименьшее подпространство, содержащее $M$.
• Базис — линейно независимая система, линейная оболочка которой равна всему пространству.
• Размерность — мощность базиса; в бесконечномерных пространствах базис Хамеля обычно не совпадает с топологическими базисами вроде рядов Фурье.

Типовые вопросы

• Проверить, является ли заданное множество линейным пространством.
• Найти линейную оболочку набора функций или последовательностей.
• Отличить алгебраическое линейное пространство от нормированного.

16Билет 16. Линейная зависимость.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить линейную зависимость и независимость, объяснить их через нетривиальные линейные комбинации, привести критерии для конечных систем и стандартные примеры в пространствах функций и последовательностей.

Определения

Система векторов $x_1,\dots,x_n$ линейно зависима, если существуют скаляры $\alpha_1,\dots,\alpha_n$, не все равные нулю, такие что $\sum_{k=1}^n\alpha_kx_k=0$. Если из равенства $\sum_{k=1}^n\alpha_kx_k=0$ следует $\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$, система линейно независима. Бесконечная система линейно независима, если любая её конечная подсистема линейно независима.

Ключевые факты

• Система линейно зависима тогда и только тогда, когда один из её векторов выражается как линейная комбинация остальных, при условии что система конечна и содержит хотя бы один вектор с ненулевым коэффициентом.
• Если система содержит нулевой вектор, она линейно зависима.
• Если одна система линейно зависима, то любая большая система, содержащая её, тоже линейно зависима.
• Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.
• В $n$-мерном пространстве всякая система из более чем $n$ векторов линейно зависима.
• Векторы $x_1,\dots,x_n$ в $\mathbb R^n$ линейно независимы тогда и только тогда, когда определитель матрицы из этих векторов как столбцов не равен нулю.

Примеры

• В $\mathbb R^2$ векторы $(1,0)$ и $(0,1)$ независимы; $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ зависимы.
• Функции $1,x,x^2,\dots,x^n$ линейно независимы на любом интервале с бесконечным числом точек: если многочлен тождественно равен нулю, все коэффициенты нулевые.
• Последовательности $e_n=(0,\dots,0,1,0,\dots)$ линейно независимы в $c_{00}$, $\ell_p$, $m$.
• Функции $\sin x$ и $\cos x$ линейно независимы на $\mathbb R$.

Антипримеры и ловушки

• Попарная непараллельность не гарантирует независимость для трёх и более векторов в $\mathbb R^2$.
• Бесконечная сумма не входит в определение линейной зависимости Хамеля: используются только конечные линейные комбинации.
• Система функций может быть независимой на одном множестве и зависимой после ограничения на меньшее множество: например, $x$ и $x^2$ на $\{0,1\}$ совпадают.

Типовые вопросы

• Доказать независимость системы функций через тождественный нуль.
• Найти максимальную независимую подсистему.
• Объяснить отличие базиса Хамеля от ортонормированного базиса в гильбертовом пространстве.

17Билет 17. Подпространство линейного пространства.

Что отвечать на экзамене

Нужно дать определение подпространства, критерий проверки через замкнутость относительно линейных комбинаций, привести примеры и объяснить связь с линейной оболочкой, ядром линейного отображения и множеством решений однородной системы.

Определения

Подмножество $M\subset L$ линейного пространства $L$ называется подпространством, если оно само является линейным пространством относительно операций из $L$. Эквивалентный критерий: $M\ne\varnothing$ и для любых $x,y\in M$, $\alpha,\beta\in\mathbb F$ выполнено $\alpha x+\beta y\in M$. Достаточно проверять: $0\in M$, $x+y\in M$ и $\alpha x\in M$.

Ключевые факты

• Пересечение любого семейства подпространств — подпространство.
• Сумма подпространств $M+N=\{m+n:m\in M,n\in N\}$ — подпространство.
• Прямая сумма $M\dotplus N$ означает, что каждый элемент суммы единственно представляется как $m+n$; эквивалентно $M\cap N=\{0\}$.
• Линейная оболочка $\operatorname{span}S$ — наименьшее подпространство, содержащее $S$.
• Ядро линейного оператора $T:L\to Y$, $\ker T=\{x:Tx=0\}$, является подпространством.
• Образ линейного оператора $\operatorname{Im}T$ также является подпространством.

Примеры

• В $C[a,b]$ множество функций, обращающихся в нуль в фиксированной точке $t_0$, является подпространством: $M=\{f:f(t_0)=0\}$.
• В пространстве всех последовательностей $s$ множества $c$, $c_0$, $c_{00}$, $\ell_p$ являются подпространствами.
• Множество решений однородной системы $Ax=0$ — подпространство.
• Множество многочленов степени не выше $n$ — подпространство пространства всех многочленов.

Не-примеры

• Множество решений $Ax=b$ при $b\ne0$ не является подпространством, потому что не содержит ноль.
• Множество $\{f\in C[a,b]: f(t_0)=1\}$ не является подпространством.
• Объединение двух подпространств обычно не является подпространством. Например, оси координат в $\mathbb R^2$: $(1,0)$ и $(0,1)$ лежат в объединении, а их сумма $(1,1)$ — нет.

Типовые вопросы

• Проверить подпространство по критерию линейной комбинации.
• Найти сумму и пересечение двух подпространств.
• Доказать, что ядро линейного функционала — гиперплоскость при ненулевом функционале.

18Билет 18. Фактор-пространство линейного пространства.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить отношение эквивалентности по подпространству, классы смежности, операции на классах и показать, что фактор-пространство снова является линейным пространством. Важно объяснить геометрию: элементы, отличающиеся на вектор из подпространства, отождествляются.

Определения

Пусть $L$ — линейное пространство, $M\subset L$ — подпространство. Вводим отношение $x\sim y \iff x-y\in M$. Класс смежности элемента $x$: $x+M=\{x+m:m\in M\}$. Фактор-пространство $L/M$ — множество всех классов смежности $x+M$.

Операции задаются так: $(x+M)+(y+M)=(x+y)+M$, $\alpha(x+M)=\alpha x+M$.

Корректность операций

Если $x+M=x'+M$ и $y+M=y'+M$, то $x-x'\in M$ и $y-y'\in M$. Тогда $(x+y)-(x'+y')=(x-x')+(y-y')\in M$, значит $(x+y)+M=(x'+y')+M$. Аналогично $\alpha x-\alpha x'=\alpha(x-x')\in M$. Поэтому операции не зависят от выбора представителей.

Ключевые факты

• Нулевой элемент в $L/M$ — класс $M=0+M$.
• Противоположный элемент к $x+M$ — $-x+M$.
• Каноническая проекция $\pi:L\to L/M$, $\pi(x)=x+M$, линейна и имеет ядро $\ker\pi=M$.
• Если $L$ конечномерно, то $\dim(L/M)=\dim L-\dim M$.
• Если $T:L\to Y$ линейный оператор и $M\subset\ker T$, то корректно определён индуцированный оператор $\widetilde T:L/M\to Y$, $\widetilde T(x+M)=Tx$.

Геометрический смысл

Факторизация «схлопывает» всё подпространство $M$ в ноль, а параллельные сдвиги $x+M$ становятся отдельными точками фактор-пространства. Например, $\mathbb R^2$ по оси $Ox$ изоморфно $\mathbb R$: класс точки определяется её второй координатой.

Примеры

• $\mathbb R^2 / \operatorname{span}(1,0)\simeq\mathbb R$.
• Пространство многочленов по подпространству многочленов, кратных $x$, изоморфно $\mathbb F$: класс определяется свободным членом.
• Если $f:L\to\mathbb F$ — ненулевой линейный функционал, то $L/\ker f\simeq\mathbb F$.

Типовые вопросы

• Доказать корректность операций на классах.
• Найти ядро канонической проекции.
• Объяснить, почему фактор по всему пространству — нулевое пространство, а фактор по $\{0\}$ изоморфен исходному пространству.

19Билет 19. Линейный функционал. Примеры.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить линейный функционал как линейное отображение в поле скаляров, привести алгебраические и аналитические примеры, описать ядро и уровни функционала. Если пространство нормировано, можно упомянуть непрерывность и норму функционала, но основной билет алгебраический.

Определения

Линейный функционал на линейном пространстве $L$ над $\mathbb F$ — отображение $f:L\to\mathbb F$ такое, что $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(\alpha x)=\alpha f(x)$. Эквивалентно: $f(\alpha x+eta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$.

Ядро функционала: $\ker f=\{x\in L:f(x)=0\}$. Уровень: $\{x:f(x)=c\}$.

Ключевые факты

• $\ker f$ — подпространство.
• Если $f\ne0$, то $\ker f$ имеет коразмерность $1$: фактор $L/\ker f$ изоморфен полю $\mathbb F$.
• Все ненулевые уровни $\{x:f(x)=c\}$ — аффинные гиперплоскости, параллельные $\ker f$.
• В конечномерном пространстве любой линейный функционал имеет вид $f(x)=a_1x_1+\cdots+a_nx_n$ в выбранном базисе.
• На нормированном пространстве линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда существует $C$ такое, что $|f(x)|\le C\|x\|$.

Примеры

• На $\mathbb R^n$: $f(x)=\langle a,x\rangle=\sum_{k=1}^n a_kx_k$.
• На $C[a,b]$: функционал значения в точке $f\mapsto f(t_0)$ линеен и непрерывен в sup-норме, его норма равна $1$.
• На $C[a,b]$: $f\mapsto\int_a^b f(t)\,dt$ линеен и непрерывен в sup-норме, $|\int f|\le(b-a)\|f\|_\infty$.
• На $\ell_p$: координатный функционал $x\mapsto x_k$ линеен и непрерывен.
• На $c_0$: если $a\in\ell_1$, то $F_a(x)=\sum_{k=1}^\infty a_kx_k$ — непрерывный линейный функционал.

Антипримеры и замечания

• Отображение $f(x)=\|x\|$ не является линейным функционалом, кроме вырожденных случаев: оно не аддитивно и не меняет знак при умножении на $-1$.
• На бесконечномерных нормированных пространствах существуют линейные функционалы, не являющиеся непрерывными, но их построение обычно использует базис Хамеля и аксиому выбора.

Типовые вопросы

• Найти ядро функционала и описать его геометрически.
• Проверить линейность интегрального или координатного функционала.
• Оценить норму функционала в нормированном пространстве.

20Билет 20. Геометрический смысл линейного функционала (с доказательством).

Что отвечать на экзамене

Нужно объяснить, что ненулевой линейный функционал задаёт семейство параллельных гиперплоскостей $f(x)=c$, а его ядро — гиперплоскость коразмерности $1$. Доказать нужно разложение пространства по ядру и выбранному вектору $x_0$ с $f(x_0)\ne0$.

Формулировка

Пусть $L$ — линейное пространство, $f:L\to\mathbb F$ — ненулевой линейный функционал. Тогда:

• $\ker f$ — подпространство коразмерности $1$;
• если выбрать $x_0\in L$ так, что $f(x_0)=1$, то каждый $x\in L$ единственно представим в виде

$x=y+\lambda x_0$, где $y\in\ker f$, $\lambda=f(x)$;

• множества $H_c=\{x:f(x)=c\}$ имеют вид $H_c=cx_0+\ker f$ и являются параллельными аффинными гиперплоскостями.

Доказательство

Так как $f\ne0$, существует $u\in L$ с $f(u)\ne0$. Положим $x_0=u/f(u)$, тогда $f(x_0)=1$. Для произвольного $x\in L$ положим $\lambda=f(x)$ и $y=x-\lambda x_0$. Тогда $f(y)=f(x)-\lambda f(x_0)=f(x)-f(x)=0$, значит $y\in\ker f$, и $x=y+\lambda x_0$. Докажем единственность. Пусть $x=y+\lambda x_0=y'+\lambda'x_0$, где $y,y'\in\ker f$. Тогда $y-y'=(\lambda'-\lambda)x_0$. Применяя $f$, получаем $0=(\lambda'-\lambda)f(x_0)=\lambda'-\lambda$, значит $\lambda=\lambda'$ и $y=y'$. Следовательно, $L=\ker f\dotplus\operatorname{span}\{x_0\}$, и фактор $L/\ker f$ одномерен. Это и означает, что $\ker f$ имеет коразмерность $1$. Для уровня $H_c$ имеем $f(x)=c$ тогда и только тогда, когда $x-cx_0\in\ker f$, то есть $H_c=cx_0+\ker f$.

Геометрический смысл

В $\mathbb R^2$ ненулевой функционал $f(x,y)=ax+by$ задаёт прямые $ax+by=c$. Ядро $ax+by=0$ — прямая через начало, а остальные уровни — параллельные ей прямые. В $\mathbb R^3$ уровни ненулевого функционала — параллельные плоскости. В общем линейном пространстве это та же картина: функционал измеряет координату вдоль направления, дополнительного к ядру.

Примеры и типовые вопросы

• Для $f(x,y,z)=x+2y-z$ ядро — плоскость $x+2y-z=0$, уровни — параллельные плоскости.
• Для функционала $F(g)=g(t_0)$ на $C[a,b]$ ядро — функции, обращающиеся в ноль в точке $t_0$.
• Типовой вопрос: почему $\ker f$ не может иметь коразмерность больше $1$? Потому что фактор изоморфен образу $f$, а образ ненулевого функционала равен всему полю.

21Билет 21. Выпуклые множества и выпуклые тела. Ядро множества. Примеры.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить выпуклое множество, выпуклую оболочку, ядро как алгебраическую внутренность и выпуклое тело. Затем привести примеры и объяснить отличие ядра от топологической внутренности.

Определения

• Множество $M$ в линейном пространстве выпукло, если для любых $x,y\in M$ и $t\in[0,1]$ точка $tx+(1-t)y$ принадлежит $M$.
• Выпуклая комбинация точек $x_1,\dots,x_n$ — сумма $\sum_{k=1}^n\lambda_kx_k$, где $\lambda_k\ge0$ и $\sum\lambda_k=1$.
• Выпуклая оболочка $\operatorname{conv}M$ — множество всех конечных выпуклых комбинаций точек из $M$; это наименьшее выпуклое множество, содержащее $M$.
• Ядро, или алгебраическая внутренность, множества $M$:

$J(M)=\{x\in M: \forall y\in L\ \exists\varepsilon>0\ \forall |t|<\varepsilon\ x+ty\in M\}$.

• Выпуклое тело — выпуклое множество с непустым ядром.

Ключевые факты

• Пересечение любого семейства выпуклых множеств выпукло.
• Линейный и аффинный образ выпуклого множества выпукл.
• Прообраз выпуклого множества при линейном отображении выпукл.
• Шары в нормированном пространстве выпуклы.
• Подпространства и аффинные подпространства выпуклы.
• Ядро выпуклого множества выпукло.

Доказательство выпуклости ядра

Пусть $x_1,x_2\in J(M)$ и $z=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2$, $\alpha\in[0,1]$. Для любого направления $y$ найдутся $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$ такие, что $x_i+ty\in M$ при $|t|<\varepsilon_i$. Тогда при $|t|<\min(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$ $z+ty=\alpha(x_1+ty)+(1-\alpha)(x_2+ty)\in M$, потому что $M$ выпукло. Значит $z\in J(M)$.

Примеры и антипримеры

• В любом нормированном пространстве открытый шар и замкнутый шар выпуклы; их ядро содержит центр и фактически совпадает с открытым шаром для обычных нормированных пространств.
• Отрезок $[x,y]$ выпукл.
• Полупространство $\{x:f(x)\le c\}$ для линейного функционала $f$ выпукло.
• Окружность в $\mathbb R^2$ не выпукла; круг выпукл.
• Объединение двух выпуклых множеств может быть невыпуклым.
• В бесконечномерном нормированном пространстве ядро может отличаться от топологической внутренности: например, некоторые выпуклые множества имеют пустую топологическую внутренность, но непустую алгебраическую внутренность в своей аффинной оболочке.

Типовые вопросы

• Проверить выпуклость множества по определению.
• Найти выпуклую оболочку конечного множества точек.
• Объяснить, почему шар любой нормы выпукл: $\|tx+(1-t)y\|\le t\|x\|+(1-t)\|y\|$.

22Билет 22. Свойства выпуклых множеств. Симплекс.

Что отвечать на экзамене

Нужно перечислить основные операции, сохраняющие выпуклость, определить крайние точки и симплекс. Для симплекса важно сказать, что это выпуклая оболочка аффинно независимых точек и что барицентрические координаты в нём единственны.

Основные свойства выпуклых множеств

• Пересечение выпуклых множеств выпукло.
• Сумма Минковского $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$ выпукла, если $A$ и $B$ выпуклы.
• Умножение выпуклого множества на скаляр сохраняет выпуклость.
• Линейный образ и линейный прообраз выпуклого множества выпуклы.
• Выпуклая оболочка $\operatorname{conv}M$ является пересечением всех выпуклых множеств, содержащих $M$.
• Подуровневое множество выпуклого функционала $\{x:p(x)\le c\}$ выпукло.
• Надграфик функции $f$, $\operatorname{epi}f=\{(x,t):t\ge f(x)\}$, выпукл тогда и только тогда, когда $f$ выпукла.

Аффинная независимость

Точки $a_0,\dots,a_n$ аффинно независимы, если векторы $a_1-a_0,\dots,a_n-a_0$ линейно независимы. Эквивалентно: из условий $\sum_{k=0}^n\lambda_ka_k=0$ и $\sum_{k=0}^n\lambda_k=0$ следует $\lambda_k=0$ для всех $k$.

Симплекс

$n$-мерный симплекс с вершинами $a_0,\dots,a_n$ — выпуклая оболочка аффинно независимых точек: $\Delta=\operatorname{conv}\{a_0,\dots,a_n\}=\left\{\sum_{k=0}^n\lambda_ka_k:\lambda_k\ge0,\sum_{k=0}^n\lambda_k=1\right\}$. Числа $\lambda_k$ называются барицентрическими координатами точки симплекса.

Ключевой факт о симплексе

Если вершины $a_0,\dots,a_n$ аффинно независимы, то представление точки $x\in\Delta$ в виде $x=\sum\lambda_ka_k$, $\lambda_k\ge0$, $\sum\lambda_k=1$, единственно. Доказательство: если есть два представления с коэффициентами $\lambda_k$ и $\mu_k$, то $\sum(\lambda_k-\mu_k)a_k=0$ и $\sum(\lambda_k-\mu_k)=0$. По аффинной независимости все $\lambda_k-\mu_k=0$.

Примеры

• $0$-симплекс — точка.
• $1$-симплекс — отрезок.
• $2$-симплекс — треугольник вместе с внутренностью.
• $3$-симплекс — тетраэдр.
• Стандартный симплекс в $\mathbb R^n$: $\{x_i\ge0,\sum_{i=1}^n x_i\le1\}$ или в $\mathbb R^{n+1}$: $\{\lambda_i\ge0,\sum\lambda_i=1\}$.

Типовые вопросы

• Доказать, что пересечение выпуклых множеств выпукло.
• Почему объединение выпуклых множеств не обязано быть выпуклым?
• Найти барицентрические координаты точки в треугольнике.
• Чем аффинная независимость отличается от линейной независимости?

23Билет 23. Однородно-выпуклые функционалы. Свойства. Примеры.

Что отвечать на экзамене

Нужно определить выпуклый, положительно однородный и однородно-выпуклый функционал. Главный факт: положительная однородность вместе с выпуклостью даёт субаддитивность, поэтому такие функционалы являются сублинейными и используются как мажоранты в теореме Хана–Банаха.

Определения

Функционал $p:L\to\mathbb R$ называется выпуклым, если $p(tx+(1-t)y)\le tp(x)+(1-t)p(y)$ для всех $x,y\in L$, $t\in[0,1]$. Он положительно однороден, если $p(\alpha x)=\alpha p(x)$ для всех $\alpha>0$. Однородно-выпуклый функционал — функционал, который одновременно выпуклый и положительно однородный. Часто такой функционал называют сублинейным, если дополнительно явно используют свойство $p(x+y)\le p(x)+p(y)$.

Ключевые свойства

• $p(0)=0$: из положительной однородности $p(0)=p(\alpha0)=\alpha p(0)$ при $\alpha\ne1$.
• Субаддитивность:

$p(x+y)=2p((x+y)/2)\le2\left(\frac12p(x)+\frac12p(y)\right)=p(x)+p(y)$.

• Для любых $x$ выполнено $p(x)+p(-x)\ge p(0)=0$.
• Из субаддитивности следует оценка $p(x)-p(y)\le p(x-y)$.
• Если $p\ge0$ и $p(-x)=p(x)$, то $p$ — полунорма. Если также $p(x)=0\Rightarrow x=0$, то $p$ — норма.
• Подуровневые множества $\{x:p(x)<1\}$ и $\{x:p(x)\le1\}$ выпуклы.

Примеры

• Любая норма $p(x)=\|x\|$ — однородно-выпуклый функционал.
• Полунорма $p(x)=|f(x)|$, где $f$ — линейный функционал.
• На $\mathbb R^n$ функция $p(x)=\max_i x_i$ положительно однородна и выпукла, но не является нормой: она может принимать отрицательные значения, например на $(-1,\dots,-1)$.
• Функция $p(x)=\max_i |x_i|$ — норма $\ell_\infty$.
• Функционал Минковского выпуклого тела с нулём в ядре — однородно-выпуклый функционал.

Антипримеры

• $p(x)=\|x\|^2$ выпукл, но не положительно однороден степени $1$.
• Линейный функционал $f$ положительно однороден и одновременно выпукл и вогнут; но если он принимает отрицательные значения, он не является неотрицательной полунормой.
• $p(x)=\sin x$ на $\mathbb R$ не является ни выпуклым на всей прямой, ни однородным.

Типовые вопросы

• Доказать субаддитивность однородно-выпуклого функционала.
• Когда однородно-выпуклый функционал становится нормой?
• Привести сублинейный функционал, который не является нормой.
• Почему такие функционалы появляются в Хане–Банахе? Потому что они задают верхнюю оценку $f(x)\le p(x)$, сохраняемую при продолжении.

24Билет 24. Функционал Минковского. Теорема о функционале Минковского (с доказательством).

Что отвечать на экзамене

Нужно определить функционал Минковского выпуклого тела $A$ с $0\in J(A)$, объяснить его геометрический смысл и доказать основные свойства: положительную однородность, субаддитивность/выпуклость, неотрицательность и связь с самим множеством $A$.

Определение

Пусть $L$ — вещественное линейное пространство, $A\subset L$ — выпуклое тело, причём $0\in J(A)$. Функционал Минковского множества $A$ определяется формулой $p_A(x)=\inf\{r>0:x\in rA\}=\inf\{r>0:x/r\in A\}$. Так как $0\in J(A)$, множество $A$ поглощает каждое направление: для любого $x$ существует достаточно большое $r>0$, при котором $x/r\in A$. Поэтому $p_A(x)$ конечен.

Геометрический смысл

$p_A(x)$ — минимальный коэффициент, во сколько нужно растянуть $A$ относительно нуля, чтобы точка $x$ попала в растянутое множество $rA$. Если $A$ — единичный шар нормы, то $p_A(x)=\|x\|$.

Теорема о функционале Минковского

Если $A$ — выпуклое тело и $0\in J(A)$, то:

1. $p_A(x)\ge0$ и $p_A(0)=0$.
2. $p_A(\alpha x)=\alpha p_A(x)$ для всех $\alpha>0$.
3. $p_A(x+y)\le p_A(x)+p_A(y)$.
4. Следовательно, $p_A$ является однородно-выпуклым функционалом.
5. $J(A)=\{x:p_A(x)<1\}$.
6. Всегда $A\subset\{x:p_A(x)\le1\}$; при дополнительных топологических условиях обычно $\overline A\subset$ или $\{p_A\le1\}$ связывается с замыканием $A$. В алгебраической формулировке особенно важна точная связь ядра с неравенством $p_A<1$.

Доказательство однородности

Для $\alpha>0$: $p_A(\alpha x)=\inf\{r>0:\alpha x\in rA\}$. Условие $\alpha x\in rA$ эквивалентно $x\in (r/\alpha)A$. Положив $s=r/\alpha$, получаем $p_A(\alpha x)=\inf\{\alpha s:s>0, x\in sA\}=\alpha p_A(x)$.

Доказательство субаддитивности

Пусть $r_1>p_A(x)$ и $r_2>p_A(y)$ выбраны так, что $x\in r_1A$ и $y\in r_2A$. Тогда $x/r_1\in A$ и $y/r_2\in A$. По выпуклости $A$: $\frac{x+y}{r_1+r_2}=\frac{r_1}{r_1+r_2}\frac{x}{r_1}+\frac{r_2}{r_1+r_2}\frac{y}{r_2}\in A$. Значит $x+y\in(r_1+r_2)A$, откуда $p_A(x+y)\le r_1+r_2$. Переходя к инфимуму по допустимым $r_1,r_2$, получаем $p_A(x+y)\le p_A(x)+p_A(y)$.

Доказательство выпуклости

Для $t\in[0,1]$ из однородности и субаддитивности: $p_A(tx+(1-t)y)\le p_A(tx)+p_A((1-t)y)=tp_A(x)+(1-t)p_A(y)$.

Связь с ядром

Если $p_A(x)<1$, то существует $r<1$ такое, что $x\in rA$, то есть $x=ra$ для некоторого $a\in A$. Так как $0\in J(A)$ и $A$ выпукло, точки, полученные с коэффициентом строго меньше $1$ от точек $A$, лежат в ядре $A$; следовательно $x\in J(A)$. Обратно, если $x\in J(A)$, то можно немного пройти из $x$ в направлении $x$, то есть существует $\varepsilon>0$ такое, что $x+\varepsilon x=(1+\varepsilon)x\in A$. Тогда $x\in \frac{1}{1+\varepsilon}A$, поэтому $p_A(x)\le\frac{1}{1+\varepsilon}<1$. Итак, $J(A)=\{x:p_A(x)<1\}$.

Примеры

• Если $A=\{x:\|x\|<1\}$ или $A=\{x:\|x\|\le1\}$ в нормированном пространстве, то $p_A(x)=\|x\|$.
• Если $A=[-1,1]^n\subset\mathbb R^n$, то $p_A(x)=\max_i|x_i|$.
• Если $A=\{x\in\mathbb R^n:\sum_i |x_i|\le1\}$, то $p_A(x)=\sum_i|x_i|$.
• Если $A$ не симметрично относительно нуля, $p_A$ может не быть чётным и потому не быть нормой.

Типовые вопросы

• Почему условие $0\in J(A)$ гарантирует конечность $p_A(x)$?
• В каком случае функционал Минковского является нормой? Когда $A$ выпукло, поглощающе, уравновешено/симметрично и достаточно отделяет ноль: $p_A(x)=0$ только при $x=0$.
• Доказать субаддитивность через выпуклую комбинацию $x/r_1$ и $y/r_2$.
• Вычислить $p_A$ для квадрата, ромба или шара в $\mathbb R^n$.

25Билет 25. Теорема Хана–Банаха (с доказательством для вещественного случая)

Что отвечать на экзамене. Это аналитическая форма Хана–Банаха: линейный функционал, заданный на подпространстве вещественного линейного пространства и мажорируемый сублинейным функционалом, продолжается на всё пространство без нарушения оценки.

Определения. Функционал $p:X\to\mathbb R$ называется сублинейным (однородно-выпуклым), если $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ и $p(\alpha x)=\alpha p(x)$ при $\alpha\ge0$. Линейный функционал $f$ мажорируется $p$, если $f(x)\le p(x)$.

Теорема. Пусть $X$ — вещественное линейное пространство, $L\subset X$ — подпространство, $f_0:L\to\mathbb R$ линеен и $f_0(x)\le p(x)$ для всех $x\in L$, где $p$ сублинеен на $X$. Тогда существует линейный $f:X\to\mathbb R$ такой, что $f|_L=f_0$ и $f(x)\le p(x)$ для всех $x\in X$.

Доказательство. Достаточно уметь продолжать на один новый вектор. Пусть $x_0\notin L$, $L_1=L+\mathbb Rx_0$. Ищем $f_1(x+t x_0)=f_0(x)+ta$. Нужно выбрать $a$ так, чтобы $f_0(x)+ta\le p(x+t x_0)$. Для $t>0$ получаем $a\le p(x/t+x_0)-f_0(x/t)$; для $t<0$ получаем $a\ge f_0(y)-p(y-x_0)$. Поэтому требуется $ f_0(y)-p(y-x_0)\le p(z+x_0)-f_0(z) $. Это следует из линейности и сублинейности: $f_0(y)+f_0(z)=f_0(y+z)\le p(y+z)\le p(y-x_0)+p(z+x_0)$. Значит интервал допустимых $a$ непуст. Далее рассматриваем все допустимые продолжения, упорядоченные включением графиков. Любая цепь имеет верхнюю грань — объединение продолжений. По лемме Цорна есть максимальное продолжение. Если его область не всё $X$, одношаговое продолжение увеличивает область, противоречие. Значит область равна $X$.

Примеры/антипримеры. В нормированном пространстве берут $p(x)=C\|x\|$. Для любого $x_0\ne0$ функционал на $\operatorname{span}\{x_0\}$, $f_0(tx_0)=t\|x_0\|$, продолжается с нормой $1$. Без сублинейности мажоранты доказательство ломается: интервал для $a$ может оказаться пустым.

Типовые вопросы. Где используется лемма Цорна? Почему достаточно вещественного случая? Как из Хана–Банаха получить существование ненулевого функционала?

26Билет 26. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве (с доказательством)

Что отвечать на экзамене. Отделение выпуклых множеств строится через функционал Минковского и теорему Хана–Банаха: если выпуклое тело с непустым ядром не пересекает выпуклое множество, то существует ненулевой линейный функционал, задающий разделяющую гиперплоскость.

Определения. Множество $M$ выпукло, если $tx+(1-t)y\in M$ при $x,y\in M$, $t\in[0,1]$. Ядро $J(M)$ — множество точек $a\in M$, таких что для любого $x$ отрезок можно немного продолжить за $a$ внутри $M$: $a+\varepsilon(a-x)\in M$ при некотором $\varepsilon>0$. Гиперплоскость отделяет $M$ и $N$, если $f(m)\le c\le f(n)$ или наоборот.

Теорема. Если $M,N$ — выпуклые множества в вещественном линейном пространстве, $J(M)\ne\varnothing$ и $J(M)\cap N=\varnothing$, то существует ненулевой линейный функционал $f$, разделяющий $M$ и $N$.

Доказательство. Выберем $a\in J(M)$ и перенесём картину: $A=M-a$, $B=N-a$. Тогда $0\in J(A)$, $A$ — выпуклое тело, а $0\notin B$ в смысле пересечения с ядром. Рассматривают множество $C=A-B=\{u-v:u\in A,v\in B\}$. Оно выпукло, и $0\notin J(C)$; иначе из $0\in J(A-B)$ следовало бы пересечение $J(M)$ и $N$. Берём функционал Минковского $p_C$. На прямой, порождённой некоторым $x_0\notin C$ (обычно выбирают точку, которую надо отделить), задаём $f_0(tx_0)=t$ и проверяем $f_0\le p_C$. По Хану–Банаху продолжаем до $f$ на всё пространство. Из $f\le p_C$ и $p_C(c)\le1$ для $c\in C$ получается оценка на $f(u-v)$, то есть $f(u)\le f(v)+\text{const}$. После возврата сдвига получаем разделение исходных множеств гиперплоскостью.

Примеры/антипримеры. В $\mathbb R^2$ два непересекающихся выпуклых диска отделяются прямой. Две касающиеся выпуклые области отделяются нестрого. Если множества не выпуклы, разделяющей прямой может не существовать.

Типовые вопросы. Почему нужна выпуклость? Чем строгое отделение отличается от нестрогого? Где используется условие $J(M)\ne\varnothing$?

27Билет 27. Нормированные пространства. Определения и примеры. Банаховы пространства

Что отвечать на экзамене. Нормированное пространство — линейное пространство с нормой; норма порождает метрику и топологию. Банахово пространство — полное нормированное пространство.

Определения. Норма $\|\cdot\|:X\to[0,\infty)$ удовлетворяет: $\|x\|=0\Leftrightarrow x=0$, $\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|$, $\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|$. Метрика: $\rho(x,y)=\|x-y\|$. Последовательность фундаментальна, если $\|x_n-x_m\|\to0$ при $n,m\to\infty$. Пространство полно, если всякая фундаментальная последовательность сходится в нём.

Ключевые факты. Всякое нормированное пространство является метрическим и топологическим линейным пространством. Конечномерное нормированное пространство полно, и все нормы на нём эквивалентны. Замкнутое подпространство банахова пространства банахово. Неполное нормированное пространство можно пополнить.

Примеры/антипримеры. $\mathbb R^n$ с $\|x\|_p$ — банахово. $C[a,b]$ с $\|f\|_\infty$ — банахово; с $\|f\|_1=\int_a^b|f|$ не полно как пространство непрерывных функций. $\ell_p$ при $1\le p\le\infty$ — банахово. $c_0$ с sup-нормой — банахово. $c_{00}$ с любой стандартной $\ell_p$-нормой не полно.

Типовые вопросы. Как проверить, что заданная функция — норма? Почему полнота зависит от пространства, а не только от формулы нормы? Какие нормы на $C[a,b]$ дают полноту?

28Билет 28. Подпространство нормированного пространства

Что отвечать на экзамене. Подпространство нормированного пространства — линейное подпространство с индуцированной нормой. Главный факт: полнота подпространства эквивалентна его замкнутости в банаховом пространстве.

Определения. Если $(X,\|\cdot\|)$ нормированное и $Y\subset X$ линейное подпространство, то $Y$ становится нормированным пространством с той же нормой $\|y\|_Y=\|y\|_X$. Замкнутость означает: из $y_n\in Y$, $y_n\to x$ в $X$ следует $x\in Y$.

Ключевые факты. Если $X$ банахово и $Y$ замкнуто, то $Y$ банахово: фундаментальная последовательность в $Y$ сходится в $X$, а замкнутость возвращает предел в $Y$. Если $Y$ полно как нормированное пространство, то $Y$ замкнуто в $X$: предел сходящейся последовательности из $Y$ является пределом фундаментальной последовательности, а полнота даёт предел в $Y$; единственность предела в метрическом пространстве завершает доказательство. Всякое конечномерное подпространство нормированного пространства замкнуто.

Примеры/антипримеры. $c_0$ — замкнутое подпространство $\ell_\infty$. $c_{00}$ плотно, но не замкнуто в $c_0$ и $\ell_p$. Множество многочленов в $C[a,b]$ линейно и плотно по Вейерштрассу, но не замкнуто в $\|\cdot\|_\infty$.

Типовые вопросы. Почему конечномерные подпространства замкнуты? Может ли незамкнутое подпространство банахова пространства быть банаховым в индуцированной норме? Нет.

29Билет 29. Фактор-пространство нормированного пространства. Фактор-пространство банахова пространства

Что отвечать на экзамене. Фактор по замкнутому подпространству получает естественную норму; если исходное пространство банахово, то фактор тоже банахов.

Определения. Пусть $L$ — линейное подпространство $X$. Класс смежности $x+L=\{x+l:l\in L\}$. Фактор-пространство $X/L$ состоит из классов, операции задаются $(x+L)+(y+L)=x+y+L$, $\alpha(x+L)=\alpha x+L$. Фактор-норма: $\|x+L\|=\inf_{l\in L}\|x+l\|=\operatorname{dist}(x,L)$. Она является нормой тогда и только тогда, когда $L$ замкнуто; иначе это лишь полунорма.

Ключевые факты. Каноническая проекция $\pi:X\to X/L$, $\pi x=x+L$, линейна и непрерывна, $\|\pi\|\le1$. Если $L$ замкнуто, то $\|x+L\|=0$ означает $x\in L$.

Доказательство банаховости фактора. Пусть $X$ банахово, $L$ замкнуто, а $u_n=x_n+L$ — фундаментальная последовательность в $X/L$. Выбираем подпоследовательность $u_{n_k}$ так, что $\|u_{n_{k+1}}-u_{n_k}\|<2^{-k}$. По определению инфимума можно подобрать представителей разностей $y_k\in X$ с $y_k+L=u_{n_{k+1}}-u_{n_k}$ и $\|y_k\|<2^{-k}$. Ряд $\sum y_k$ сходится в $X$ по полноте. Его частичные суммы представляют $u_{n_m}-u_{n_1}$, значит подпоследовательность $u_{n_k}$ сходится в факторе. Фундаментальная последовательность с сходящейся подпоследовательностью сходится целиком.

Примеры/антипримеры. $\mathbb R^2/\operatorname{span}(e_1)\simeq\mathbb R$. Если $L$ не замкнуто, например многочлены в $C[0,1]$, фактор-норма вырождается.

Типовые вопросы. Почему нужна замкнутость $L$? Как геометрически понимать $\|x+L\|$? Что такое коразмерность?

30Билет 30. Евклидовы пространства. Определение и примеры

Что отвечать на экзамене. Евклидово, или предгильбертово, пространство — линейное пространство со скалярным произведением; оно становится нормированным по формуле $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$.

Определения. В вещественном случае скалярное произведение симметрично, билинейно и положительно определено. В комплексном случае оно эрмитово: $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$, линейно по одному аргументу и сопряжённо-линейно по другому. Ортогональность: $x\perp y$, если $\langle x,y\rangle=0$.

Ключевые факты. Неравенство Коши–Буняковского: $|\langle x,y\rangle|\le\|x\|\|y\|$. Из него следует неравенство треугольника для нормы. Теорема Пифагора: если $x\perp y$, то $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$. Скалярное произведение позволяет говорить об углах, проекциях, ортонормированных системах и рядах Фурье. Если пространство полно по порождённой норме, оно гильбертово.

Примеры/антипримеры. $\mathbb R^n$ с $\langle x,y\rangle=\sum x_ky_k$. $\ell_2$ с $\langle x,y\rangle=\sum x_k\overline{y_k}$. $C[a,b]$ со скалярным произведением $\int_a^b f\overline g$ — евклидово, но не полно по $L_2$-норме. $\ell_p$ при $p\ne2$ обычно не является евклидовым с нормой $\ell_p$.

Типовые вопросы. Почему из скалярного произведения получается норма? Чем евклидово пространство отличается от гильбертова? Как проверить, что норма не скалярная?

31Билет 31. Существование ортогональных базисов. Ортогонализация Грама–Шмидта

Что отвечать на экзамене. В конечномерном евклидовом пространстве из любого базиса можно построить ортогональный, а затем ортонормированный базис процедурой Грама–Шмидта.

Определения. Система $e_1,\dots,e_n$ ортогональна, если $\langle e_i,e_j\rangle=0$ при $i\ne j$, и ортонормирована, если дополнительно $\|e_i\|=1$. Ортогональный базис — базис, являющийся ортогональной системой.

Теорема и алгоритм. Пусть $x_1,\dots,x_n$ — линейно независимая система. Положим $u_1=x_1$, а далее $u_k=x_k-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle x_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}u_j$. Тогда $u_1,\dots,u_n$ ортогональны и ненулевые, а $e_k=u_k/\|u_k\|$ ортонормированы.

Доказательство. Индукция по $k$. Вектор $u_k$ получается вычитанием из $x_k$ его проекции на $\operatorname{span}(u_1,\dots,u_{k-1})$. Для $i<k$: $\langle u_k,u_i\rangle=\langle x_k,u_i\rangle-\frac{\langle x_k,u_i\rangle}{\langle u_i,u_i\rangle}\langle u_i,u_i\rangle=0$, остальные члены исчезают по ортогональности. Если бы $u_k=0$, то $x_k$ лежал бы в линейной оболочке предыдущих $u_j$, а значит и предыдущих $x_j$, что противоречит независимости. Линейные оболочки на каждом шаге совпадают, поэтому получаем базис.

Примеры/антипримеры. В $\mathbb R^2$ из $(1,1),(1,0)$ получаем $(1,1),(1/2,-1/2)$. Нулевая или зависимая система не даёт базис: на каком-то шаге появится $u_k=0$.

Типовые вопросы. Почему знаменатель не равен нулю? Почему оболочки сохраняются? Как получить ортонормированный базис?

32Билет 32. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном евклидовом пространстве

Что отвечать на экзамене. В сепарабельном евклидовом пространстве существует счётная или конечная полная ортонормированная система; её получают из счётного плотного множества процедурой Грама–Шмидта после удаления зависимых векторов.

Определения. Пространство сепарабельно, если имеет счётное плотное множество. Ортонормированная система $(e_n)$ полна, если замыкание $\overline{\operatorname{span}\{e_n\}}$ равно всему пространству; эквивалентно, нет ненулевого вектора, ортогонального всем $e_n$.

Доказательство. Пусть $D=\{x_1,x_2,\dots\}$ — счётное плотное множество. Последовательно выбрасываем из него векторы, лежащие в линейной оболочке уже выбранных; получаем конечную или счётную линейно независимую систему $y_1,y_2,\dots$ с тем же замкнутым линейным span, что и $D$. Применяем Грама–Шмидта и получаем ортонормированную систему $e_1,e_2,\dots$; линейная оболочка не меняется. Так как $D$ плотно, замыкание оболочки $e_n$ равно всему пространству. Если процесс конечен, пространство конечномерно и полученный список — ортонормированный базис.

Ключевые факты. Сепарабельность важна для счётности. Без сепарабельности ортонормированный базис может быть несчётным, и его существование обычно доказывают через лемму Цорна.

Примеры/антипримеры. $\ell_2$ сепарабельно; стандартные $e_n$ образуют ОНБ. В $L_2[0,2\pi]$ тригонометрическая система является классическим ОНБ. Пространство $\ell_2(I)$ при несчётном $I$ не сепарабельно.

Типовые вопросы. Зачем удалять зависимые элементы? Почему плотность сохраняется? Чем алгебраический базис отличается от ОНБ?

33Билет 33. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Ряд Фурье. Наилучшее приближение рядом Фурье

Что отвечать на экзамене. Для ортонормированной системы коэффициенты Фурье $c_k=\langle x,e_k\rangle$ дают ортогональную проекцию на конечномерную оболочку; частичная сумма Фурье является наилучшим приближением среди всех линейных комбинаций первых $n$ элементов.

Определения. ОНС — система $(e_k)$ с $\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$. Коэффициенты Фурье: $c_k(x)=\langle x,e_k\rangle$. Ряд Фурье: $\sum_{k=1}^\infty c_k e_k$. ОНС замкнута/полна, если $x\perp e_k$ для всех $k$ влечёт $x=0$.

Ключевые факты. Неравенство Бесселя: $\sum_{k=1}^n |\langle x,e_k\rangle|^2\le\|x\|^2$, а при $n\to\infty$ — $\sum |c_k|^2\le\|x\|^2$. Если система полна в гильбертовом пространстве, то выполнено равенство Парсеваля $\|x\|^2=\sum |c_k|^2$.

Доказательство наилучшего приближения. Пусть $S_n=\sum_{k=1}^n c_k e_k$, а $y=\sum_{k=1}^n a_k e_k$. Тогда $x-S_n\perp \operatorname{span}(e_1,\dots,e_n)$, поэтому $\|x-y\|^2=\|x-S_n\|^2+\|S_n-y\|^2\ge\|x-S_n\|^2$. Равенство достигается только при $y=S_n$. Отсюда же Бессель: $\|x\|^2=\|x-S_n\|^2+\|S_n\|^2\ge\sum_{k=1}^n|c_k|^2$.

Примеры/антипримеры. В $\ell_2$ стандартный базис: $c_k=x_k$. Неполная система: только чётные стандартные векторы; вектор $e_1$ ортогонален всем им, но ненулевой.

Типовые вопросы. Чем отличается Бессель от Парсеваля? Почему частичная сумма — проекция? Что значит замкнутость ОНС?

34Билет 34. Замкнутость всякой ортонормированной системы в сепарабельном евклидовом пространстве

Что отвечать на экзамене. В сепарабельном евклидовом пространстве любая ортонормированная система не более чем счётна; поэтому её можно рассматривать как последовательность и говорить о замыкании её линейной оболочки. Если в формулировке курса «замкнутая» означает максимальная/полная ОНС, доказывается: всякая максимальная ОНС в сепарабельном пространстве полна.

Определения. ОНС $\{e_\alpha\}$ — ортонормированная система. Она полна, если $\overline{\operatorname{span}}\{e_\alpha\}=H$. Она максимальна, если к ней нельзя добавить ненулевой нормированный вектор, сохранив ортонормированность.

Доказательство счётности. Пусть $D=\{d_n\}$ — счётное плотное множество. Для каждого $e_\alpha$ выберем $d_{n(\alpha)}$ так, что $\|e_\alpha-d_{n(\alpha)}\|<1/3$. Если $\alpha\ne\beta$, то $\|e_\alpha-e_\beta\|=\sqrt2$. Один и тот же $d_n$ не может соответствовать двум разным $e_\alpha,e_\beta$, иначе $\|e_\alpha-e_\beta\|<2/3$, противоречие. Значит индексов не больше, чем натуральных чисел.

Доказательство полноты максимальной ОНС. Пусть $M=\overline{\operatorname{span}}\{e_k\}$. Если $M\ne H$, найдётся $x\notin M$. В гильбертовом случае берём $u=x-P_Mx\ne0$, тогда $u\perp M$, значит $u/\|u\|$ можно добавить к ОНС, противоречие максимальности. В предгильбертовом варианте используют вектор, ортогональный замкнутой оболочке, если он существует; поэтому важно уточнить формулировку.

Примеры/антипримеры. В $\ell_2$ любая ОНС счётна. Система $e_2,e_4,e_6,\dots$ не полна и не максимальна.

Типовые вопросы. Где нужна сепарабельность? Что значит максимальная ОНС? Почему расстояние между разными элементами ОНС равно $\sqrt2$?

35Билет 35. Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса–Фишера

Что отвечать на экзамене. Полное евклидово пространство — это гильбертово пространство. Теорема Рисса–Фишера утверждает, что в гильбертовом пространстве для любой ОНС и любой последовательности коэффициентов из $\ell_2$ существует вектор с этими коэффициентами Фурье.

Определения. Гильбертово пространство — евклидово пространство, полное по норме $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. Для ОНС $(e_k)$ и $a=(a_k)\in\ell_2$ рассматривается ряд $\sum a_ke_k$.

Теорема Рисса–Фишера. Если $H$ — гильбертово пространство, $(e_k)$ — ОНС, $\sum |a_k|^2<\infty$, то ряд $\sum a_ke_k$ сходится в $H$ к некоторому $x$, причём $\langle x,e_k\rangle=a_k$ и $\|x\|^2=\sum |a_k|^2$ для компоненты в замыкании span системы.

Доказательство. Частичные суммы $S_n=\sum_{k=1}^n a_ke_k$. При $m>n$ по Пифагору $\|S_m-S_n\|^2=\sum_{k=n+1}^m |a_k|^2\to0$, так как $(a_k)\in\ell_2$. Значит $(S_n)$ фундаментальна. Полнота $H$ даёт $S_n\to x\in H$. Непрерывность скалярного произведения даёт $\langle x,e_j\rangle=\lim_n\langle S_n,e_j\rangle=a_j$. Норма получается предельным переходом из $\|S_n\|^2=\sum_{k=1}^n|a_k|^2$.

Примеры/антипримеры. В $\ell_2$ это почти определение: $x=(a_k)$. В неполном $C[0,1]$ с $L_2$-нормой Cauchy-ряды могут сходиться к разрывной/не непрерывной функции в $L_2$, поэтому предел не лежит в пространстве.

Типовые вопросы. Где используется полнота? Почему коэффициенты обязаны быть из $\ell_2$? Что меняется для полной ОНС?

36Билет 36. Полнота ортонормированной системы в полном сепарабельном евклидовом пространстве

Что отвечать на экзамене. В полном сепарабельном евклидовом пространстве существует полная счётная ОНС; для неё каждый вектор раскладывается в ряд Фурье, и выполняется равенство Парсеваля.

Определения. ОНС $(e_k)$ полна, если $\overline{\operatorname{span}}\{e_k\}=H$, или эквивалентно $x\perp e_k$ для всех $k$ влечёт $x=0$. Сепарабельность — наличие счётного плотного множества.

Теорема. Если $H$ — сепарабельное гильбертово пространство, то построенная из плотного множества ОНС является полной. Для любого $x\in H$ ряд Фурье $\sum \langle x,e_k\rangle e_k$ сходится к $x$.

Доказательство. Берём счётное плотное множество, удаляем линейно зависимые элементы и ортонормируем по Граму–Шмидту. Полученная ОНС имеет замкнутую линейную оболочку, содержащую исходное плотное множество, значит эта оболочка равна $H$. Для $x\in H$ частичные суммы Фурье $S_n$ являются лучшими приближениями в конечномерных подпространствах. Так как объединение этих подпространств плотно, для любого $\varepsilon>0$ найдётся $y$ из конечной линейной оболочки с $\|x-y\|<\varepsilon$. Наилучшее свойство даёт $\|x-S_n\|\le\|x-y\|$ для достаточно большого $n$, значит $S_n\to x$. Отсюда Парсеваль: $\|x\|^2=\sum |\langle x,e_k\rangle|^2$.

Примеры/антипримеры. В $\ell_2$ стандартная ОНС полна. Система без $e_1$ неполна: вектор $e_1$ ортогонален всем её элементам.

Типовые вопросы. Почему полнота пространства нужна для сходимости ряда? Как связаны полнота ОНС и Парсеваль? Почему сепарабельность даёт счётность?

37Билет 37. Гильбертовы пространства. Определения и примеры

Что отвечать на экзамене. Гильбертово пространство — полное пространство со скалярным произведением. Это естественная бесконечномерная версия евклидова пространства, где работают ортогональные проекции и ряды Фурье.

Определения. Пространство $H$ над $\mathbb R$ или $\mathbb C$ со скалярным произведением $\langle\cdot,\cdot\rangle$ называется гильбертовым, если оно полно по норме $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. Подпространство часто понимают как линейное множество; для проекций обычно требуется замкнутость.

Ключевые факты. В гильбертовом пространстве выполняются Коши–Буняковский, Пифагор, тождество параллелограмма. Для замкнутого подпространства $M$ каждый $x$ единственно представляется как $x=m+u$, где $m\in M$, $u\in M^\perp$. Всякий непрерывный линейный функционал имеет вид $f(x)=\langle x,a\rangle$ для единственного $a\in H$ (теорема Рисса). В сепарабельном случае есть счётный ОНБ.

Примеры/антипримеры. $\mathbb R^n$, $\mathbb C^n$, $\ell_2$, $L_2[a,b]$ — гильбертовы. $C[a,b]$ с sup-нормой — банахово, но не гильбертово относительно этой нормы. $C[a,b]$ с $L_2$-скалярным произведением не полно.

Типовые вопросы. Чем банахово пространство отличается от гильбертова? Почему $L_2$ является гильбертовым, а $L_1$ нет? Что такое ортогональная проекция?

38Билет 38. Теорема об изоморфизме гильбертовых пространств (с доказательством)

Что отвечать на экзамене. Сепарабельные бесконечномерные гильбертовы пространства изоморфны $\ell_2$: выбор ортонормированного базиса переводит вектор в последовательность его коэффициентов Фурье.

Определения. Изоморфизм гильбертовых пространств — линейная биекция $U:H\to K$, сохраняющая скалярное произведение: $\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle$. Тогда автоматически сохраняется норма.

Теорема. Если $H$ — бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство, то $H\cong\ell_2$. Если $\dim H=n<\infty$, то $H\cong\mathbb K^n$.

Доказательство. Возьмём ОНБ $(e_k)$ в $H$. Определим $U:H\to\ell_2$ формулой $Ux=(\langle x,e_k\rangle)_{k\ge1}$. По Бесселю $Ux\in\ell_2$. По Парсевалю $\|Ux\|_{\ell_2}^2=\sum |\langle x,e_k\rangle|^2=\|x\|^2$, значит $U$ изометричен и инъективен. Для сюръективности берём любую $a=(a_k)\in\ell_2$. По Риссу–Фишеру ряд $\sum a_ke_k$ сходится к некоторому $x\in H$, и его коэффициенты равны $a_k$, то есть $Ux=a$. Сохранение скалярного произведения следует из поляризационного тождества или прямого предельного перехода: $\langle x,y\rangle=\sum \langle x,e_k\rangle\overline{\langle y,e_k\rangle}$.

Примеры/антипримеры. $L_2[0,1]\cong\ell_2$ как гильбертово пространство, если оно сепарабельно. Несепарабельное $\ell_2(I)$ при несчётном $I$ не изоморфно $\ell_2$.

Типовые вопросы. Что сохраняет гильбертов изоморфизм? Почему нужна полнота? Почему размерность ОНБ — инвариант?

39Билет 39. Подпространства, ортогональное дополнение, прямая сумма

Что отвечать на экзамене. Для подпространства $M$ в евклидовом/гильбертовом пространстве ортогональное дополнение $M^\perp$ состоит из векторов, перпендикулярных всем векторам $M$. Если $M$ замкнуто в гильбертовом пространстве, то $H=M\oplus M^\perp$.

Определения. $M^\perp=\{x\in H:\langle x,m\rangle=0\ \forall m\in M\}$. Сумма $X=M+N$ прямая, если каждый $x\in X$ единственно представим как $x=m+n$; обозначение $M\oplus N$. Ортогональная прямая сумма дополнительно требует $M\perp N$.

Ключевые факты. $M^\perp$ всегда замкнуто, даже если $M$ не замкнуто, потому что $M^\perp=\bigcap_{m\in M}\ker(x\mapsto\langle x,m\rangle)$. Также $M^\perp=(\overline M)^\perp$. В гильбертовом пространстве для замкнутого $M$ существует ортогональная проекция $P_M$ и $x=P_Mx+(x-P_Mx)$.

Примеры/антипримеры. В $\mathbb R^3$ для плоскости через ноль ортогональное дополнение — нормальная прямая. В $\ell_2$ если $M=\{x:x_1=0\}$, то $M^\perp=\operatorname{span}\{e_1\}$. Если $M$ не замкнуто, разложение $H=M\oplus M^\perp$ может не выполняться; например плотное собственное подпространство имеет $M^\perp=\{0\}$.

Типовые вопросы. Почему $M^\perp$ замкнуто? Чем алгебраическая прямая сумма отличается от ортогональной? Зачем требовать замкнутость $M$?

40Билет 40. Сепарабельность любого подмножества сепарабельного метрического пространства (с доказательством)

Что отвечать на экзамене. В метрических пространствах сепарабельность наследуется подмножествами: если $X$ имеет счётное плотное множество, то любое $Y\subset X$ тоже сепарабельно в индуцированной метрике.

Определения. Метрическое пространство сепарабельно, если содержит счётное всюду плотное множество $D$, то есть $\overline D=X$. Индуцированная метрика на $Y\subset X$ — это та же функция расстояния, ограниченная на $Y$.

Теорема. Если $(X,\rho)$ сепарабельно и $Y\subset X$, то $Y$ сепарабельно.

Доказательство. Пусть $D=\{d_1,d_2,\dots\}$ плотно в $X$. Для каждого шара $B(d_i,r)$ с рациональным $r>0$, который пересекает $Y$, выберем одну точку $y_{i,r}\in Y\cap B(d_i,r)$. Множество всех выбранных точек счётно, потому что пар $(i,r)$ счётно. Докажем плотность в $Y$. Возьмём $y\in Y$ и $\varepsilon>0$. По плотности $D$ найдётся $d_i$ с $\rho(y,d_i)<\varepsilon/3$. Выберем рациональное $r$ так, что $\rho(y,d_i)<r<\varepsilon/3$ или достаточно малое $r$ с $B(d_i,r)\subset B(y,\varepsilon)$. Так как $y\in Y\cap B(d_i,r)$, выбранная точка $y_{i,r}$ существует и лежит в $B(y,\varepsilon)$ при аккуратном выборе радиусов, например $r<\varepsilon/2$ и $\rho(y,d_i)<\varepsilon/2$. Значит выбранное счётное множество плотно в $Y$.

Примеры/антипримеры. Любое подмножество $\mathbb R^n$ сепарабельно. Это неверно для произвольных топологических пространств: наследование сепарабельности требует метризуемости или дополнительных условий.

Типовые вопросы. Почему нельзя просто взять $D\cap Y$? Оно может быть пустым. Где используется счётность рациональных радиусов?

41Билет 41. Представление гильбертова пространства в виде $M\oplus M^\perp$ (с доказательством)

Что отвечать на экзамене. Главная теорема о проекции: если $M$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$, то каждый $x\in H$ единственно раскладывается как $x=m+u$, где $m\in M$, $u\in M^\perp$.

Определения. $M^\perp=\{u:\langle u,m\rangle=0\ \forall m\in M\}$. Ортогональная проекция $P_Mx$ — ближайшая к $x$ точка подпространства $M$.

Теорема. Для всякого замкнутого линейного подпространства $M$ гильбертова пространства $H$ выполнено $H=M\oplus M^\perp$.

Доказательство. Для $x\in H$ рассмотрим расстояние $d=\inf_{m\in M}\|x-m\|$ и выберем минимизирующую последовательность $m_n\in M$ с $\|x-m_n\|\to d$. По тождеству параллелограмма для $x-m_n$ и $x-m_k$ получают, что $(m_n)$ фундаментальна: середина $(m_n+m_k)/2\in M$ не может давать расстояние меньше $d$, а значит $\|m_n-m_k\|\to0$. Так как $M$ замкнуто в полном $H$, оно полно, поэтому $m_n\to m\in M$. Тогда $\|x-m\|=d$. Покажем ортогональность: для любого $v\in M$ функция $\phi(t)=\|x-m-tv\|^2$ имеет минимум при $t=0$. Раскрывая квадрат, получаем $\operatorname{Re}\langle x-m,v\rangle=0$; в комплексном случае берём также $iv$, значит $x-m\perp M$. Единственность: если $m_1+u_1=m_2+u_2$, то $m_1-m_2=u_2-u_1\in M\cap M^\perp$, значит этот вектор нулевой.

Примеры/антипримеры. В $L_2$ проекция на конечномерную оболочку — частичная сумма Фурье. Для незамкнутого плотного $M$ разложения обычно нет.

Типовые вопросы. Где используются полнота и замкнутость? Почему минимум расстояния достигается? Почему проекция единственна?

42Билет 42. Связь размерности ортогонального дополнения и коразмерности подпространства

Что отвечать на экзамене. Для замкнутого подпространства $M$ гильбертова пространства размерность $M^\perp$ равна коразмерности $M$, то есть размерности фактора $H/M$, в частности при конечной коразмерности.

Определения. Коразмерность $\operatorname{codim}M=\dim(H/M)$. Ортогональное дополнение $M^\perp$ — все векторы, перпендикулярные $M$.

Теорема. Если $M$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ и $\operatorname{codim}M<\infty$, то $\dim M^\perp=\operatorname{codim}M$.

Доказательство. По теореме о разложении $H=M\oplus M^\perp$. Рассмотрим отображение $T:M^\perp\to H/M$, $T(u)=u+M$. Оно линейно. Инъективность: если $u+M=M$, то $u\in M$, а также $u\in M^\perp$, значит $u=0$. Сюръективность: любой класс $x+M$ имеет представителя из $M^\perp$, потому что $x=m+u$ по ортогональному разложению, и тогда $x+M=u+M$. Следовательно $T$ — линейный изоморфизм, значит размерности равны. Если коразмерность конечна, получаем конечномерность $M^\perp$ той же размерности.

Примеры/антипримеры. В $\mathbb R^3$ плоскость имеет коразмерность $1$, её ортогональное дополнение — прямая. В $\ell_2$ подпространство $x_1=\dots=x_n=0$ имеет ортогональное дополнение $\operatorname{span}(e_1,\dots,e_n)$.

Типовые вопросы. Почему нужно замкнутое $M$? Как фактор $H/M$ связан с представителями из $M^\perp$? Что такое гиперплоскость в гильбертовом пространстве?

43Билет 43. Характеристическое свойство евклидовых пространств. Тождество параллелограмма и теорема Йордана–фон Неймана

Что отвечать на экзамене. Норма порождена скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполняется тождество параллелограмма. Это критерий, позволяющий отличать гильбертовы нормы от негильбертовых.

Определения и факты. В пространстве со скалярным произведением $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$. Теорема Йордана–фон Неймана: если нормированное вещественное пространство удовлетворяет этому тождеству для всех $x,y$, то существует скалярное произведение, порождающее норму. В вещественном случае оно задаётся поляризационной формулой $\langle x,y\rangle=\frac{\|x+y\|^2-\|x-y\|^2}{4}$. В комплексном случае используется комплексная поляризация.

Примеры использования. Для $\ell_2$ параллелограмм выполнен, значит норма евклидова. Для $\ell_1^2$ берём $x=(1,0)$, $y=(0,1)$: $\|x+y\|_1^2+\|x-y\|_1^2=4+4=8$, а $2\|x\|_1^2+2\|y\|_1^2=4$; тождество нарушено. Для $\ell_\infty^2$ с теми же векторами левая часть $1+1=2$, правая $4$, тоже не евклидова.

Антипримеры. Банаховы пространства $L_p$ и $\ell_p$ при $p\ne2$ не гильбертовы относительно своих стандартных норм. Однако конечномерно они могут иметь другое скалярное произведение, порождающее эквивалентную, но не ту же норму.

Типовые вопросы. Как восстановить скалярное произведение из нормы? Почему достаточно найти одну пару $x,y$, нарушающую параллелограмм? Чем «эквивалентная норма» отличается от «та же норма»?

44Билет 44. Топологические пространства. Определение и примеры. Аксиомы счётности

Что отвечать на экзамене. Топологическое пространство задаёт понятия открытости, сходимости и непрерывности без обязательной метрики. Аксиомы счётности описывают, насколько топология задаётся счётным набором окрестностей или открытых множеств.

Определения. Топология $\tau$ на $X$ — семейство подмножеств, содержащее $\varnothing,X$, замкнутое относительно произвольных объединений и конечных пересечений. Пара $(X,\tau)$ — топологическое пространство. Окрестность точки — множество, содержащее открытое множество с этой точкой. База топологии — семейство открытых множеств, через объединения которого получаются все открытые множества.

Аксиомы счётности. Первая аксиома счётности: у каждой точки есть счётная база окрестностей. Все метрические пространства ей удовлетворяют: $B(x,1/n)$. Вторая аксиома счётности: у всей топологии есть счётная база. Метрическое сепарабельное пространство имеет вторую аксиому счётности; для $\mathbb R^n$ база — шары с рациональными центрами и радиусами.

Примеры/антипримеры. Дискретная топология: все множества открыты; на несчётном множестве первая аксиома есть, второй нет. Антидискретная топология: открыты только $\varnothing$ и $X$. Топология, порождённая метрикой, — основной пример.

Типовые вопросы. Чем база отличается от предбазы? Почему 2АС влечёт сепарабельность для метрических пространств? Почему топологическая сходимость может быть не единственной без хаусдорфовости?

45Билет 45. Топологические линейные пространства. Определение и примеры

Что отвечать на экзамене. Топологическое линейное пространство — линейное пространство с топологией, в которой сложение и умножение на скаляр непрерывны. Оно обобщает нормированные пространства.

Определения. Пусть $X$ — линейное пространство над $\mathbb R$ или $\mathbb C$ и одновременно топологическое пространство. Оно называется топологическим линейным пространством (ТЛП), если отображения $X\times X\to X$, $(x,y)\mapsto x+y$, и $\mathbb K\times X\to X$, $(\alpha,x)\mapsto\alpha x$, непрерывны. Обычно предполагают хаусдорфовость.

Ключевые факты. Топология ТЛП однородна относительно сдвигов: достаточно знать базу окрестностей нуля. Если $U$ — окрестность нуля, то $x+U$ — окрестность $x$. В нормированном пространстве топология нормы делает его ТЛП. Локально выпуклые пространства имеют базу из выпуклых окрестностей нуля и хорошо связаны с линейными функционалами.

Примеры/антипримеры. Любое нормированное пространство. Пространство $C^\infty[a,b]$ с топологией равномерной сходимости всех производных на компактах задаётся семинормами. Пространство всех последовательностей $s$ с покоординатной сходимостью — ТЛП, но не нормируемо стандартным образом. Если взять на линейном пространстве произвольную топологию, операции могут быть не непрерывны.

Типовые вопросы. Почему достаточно проверять непрерывность в нуле? Чем ТЛП шире нормированных пространств? Что такое локальная выпуклость?

46Билет 46. Ограниченность множества в топологическом линейном пространстве

Что отвечать на экзамене. В ТЛП ограниченность определяется через поглощение любой окрестностью нуля после достаточно малого масштабирования. Важный критерий: множество $B$ ограничено тогда и только тогда, когда для любой последовательности $x_n\in B$ и любых чисел $\varepsilon_n\to0$ выполнено $\varepsilon_nx_n\to0$.

Определения. Множество $B\subset X$ в ТЛП ограничено, если для всякой окрестности нуля $U$ существует $\lambda>0$ такое, что при $|\alpha|<\lambda$ выполнено $\alpha B\subset U$. Эквивалентно: для каждого $t>0$ достаточно большого $B\subset tU$.

Теорема. Если $B$ ограничено и $\varepsilon_n\to0$, $x_n\in B$, то $\varepsilon_nx_n\to0$.

Доказательство требуемого случая. Возьмём любую окрестность нуля $U$. По ограниченности $B$ найдётся $\delta>0$ такое, что $|\alpha|<\delta$ влечёт $\alpha B\subset U$. Так как $\varepsilon_n\to0$, существует $N$, что $|\varepsilon_n|<\delta$ при $n\ge N$. Тогда для всех $n\ge N$ имеем $\varepsilon_nx_n\in U$. Это и означает сходимость $\varepsilon_nx_n\to0$.

Обратная идея. Если $B$ не ограничено, то найдётся окрестность $U$ такая, что для каждого $n$ можно выбрать $x_n\in B$ с $(1/n)x_n\notin U$. Тогда при $\varepsilon_n=1/n$ нарушается сходимость к нулю.

Примеры/антипримеры. В нормированном пространстве это совпадает с обычной ограниченностью $\sup_{x\in B}\|x\|<\infty$. Единичный шар ограничен; всё бесконечномерное нормированное пространство не ограничено.

Типовые вопросы. Почему определение использует окрестности нуля? Как оно связано с нормой? Как доказать обратное утверждение?

47Билет 47. Непрерывные линейные функционалы в ТЛП. Связь непрерывности и ограниченности

Что отвечать на экзамене. Линейный функционал на ТЛП непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен в некоторой окрестности нуля. Для линейных отображений достаточно проверять непрерывность в нуле.

Определения. Линейный функционал $f:X\to\mathbb K$ линеен и принимает скалярные значения. Он непрерывен, если прообраз каждого открытого множества открыт. Он ограничен на множестве $U$, если $|f(x)|\le C$ для всех $x\in U$.

Теорема. Для линейного функционала $f$ на ТЛП эквивалентны: $f$ непрерывен; $f$ непрерывен в нуле; существует окрестность нуля $U$, на которой $f$ ограничен.

Доказательство. Непрерывность всюду равносильна непрерывности в нуле из линейности: $f(x)-f(x_0)=f(x-x_0)$. Если $f$ непрерывен в нуле, то множество $\{z:|z|<1\}$ имеет прообраз — окрестность $U$ нуля, и на ней $|f|<1$, то есть $f$ ограничен. Обратно, пусть $|f(x)|\le C$ на окрестности $U$ нуля. Чтобы доказать непрерывность в нуле, для заданного $\varepsilon>0$ рассмотрим $V=(\varepsilon/(C+1))U$; это окрестность нуля в ТЛП. Если $x\in V$, то $x=(\varepsilon/(C+1))u$ и $|f(x)|\le\varepsilon C/(C+1)<\varepsilon$. Значит $f(x)\to0$ при $x\to0$.

Примеры/антипримеры. В нормированном пространстве это превращается в условие $|f(x)|\le C\|x\|$. Алгебраический линейный функционал на бесконечномерном нормированном пространстве может быть разрывным.

Типовые вопросы. Почему достаточно одной окрестности? Что означает ограниченность функционала в ТЛП? Как получить нормированный вариант?

48Билет 48. Линейные функционалы на нормированных пространствах. Норма функционала

Что отвечать на экзамене. На нормированном пространстве линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен по норме: $|f(x)|\le C\|x\|$. Норма функционала измеряет минимальную такую константу.

Определения. Сопряжённое пространство $X^*$ — пространство всех непрерывных линейных функционалов $f:X\to\mathbb K$. Норма функционала: $\|f\|=\sup_{\|x\|\le1}|f(x)|$.

Эквивалентные определения нормы. Для непрерывного линейного $f$: $\|f\|=\sup_{\|x\|\le1}|f(x)|=\sup_{\|x\|=1}|f(x)|=\sup_{x\ne0}\frac{|f(x)|}{\|x\|}=\inf\{C: |f(x)|\le C\|x\|\ \forall x\}$.

Доказательство эквивалентности. Если $x\ne0$, положим $u=x/\|x\|$, тогда $|f(x)|/\|x\|=|f(u)|$, откуда равенство супремумов по сфере и по ненулевым векторам. Супремум по шару не больше супремума по сфере, потому что для $0<\|x\|\le1$ имеем $|f(x)|=\|x\||f(x/\|x\|)|\le\sup_{\|u\|=1}|f(u)|$; обратное очевидно, так как сфера лежит в шаре. Если $M$ — этот супремум, то $|f(x)|\le M\|x\|$. Любая допустимая константа $C$ мажорирует $|f(u)|$ на единичной сфере, значит $C\ge M$; следовательно $M$ — инфимум.

Примеры/антипримеры. На $C[a,b]$ функционал $f(g)=g(t_0)$ имеет норму $1$. На $\ell_p$ функционал $f(x)=\sum x_ka_k$ непрерывен при $a\in\ell_q$, $1/p+1/q=1$.

Типовые вопросы. Почему линейность важна? Может ли супремум не достигаться? Чем $X^*$ отличается от алгебраического dual?

49Билет 49. Теорема Хана–Банаха в нормированном пространстве (с доказательством для вещественного случая)

Что отвечать на экзамене. Нормированная форма Хана–Банаха: непрерывный линейный функционал с подпространства можно продолжить на всё пространство с той же нормой.

Определения. Пусть $Y\subset X$ — подпространство нормированного вещественного пространства. Если $f_0\in Y^*$, то $\|f_0\|=\sup_{\|y\|\le1}|f_0(y)|$.

Теорема. Существует $f\in X^*$ такое, что $f|_Y=f_0$ и $\|f\|=\|f_0\|$.

Доказательство. Если $f_0=0$, продолжение нулевое. Пусть $C=\|f_0\|$. Тогда для всех $y\in Y$ имеем $f_0(y)\le |f_0(y)|\le C\|y\|$. Функционал $p(x)=C\|x\|$ сублинеен на $X$. По аналитической теореме Хана–Банаха существует линейное продолжение $f:X\to\mathbb R$ с $f(x)\le C\|x\|$ для всех $x$. Применяя это к $-x$, получаем $-f(x)=f(-x)\le C\|x\|$, значит $|f(x)|\le C\|x\|$. Следовательно $f$ непрерывен и $\|f\|\le C$. Но так как $f$ продолжает $f_0$, то $\|f\|\ge\|f_0\|=C$ (супремум по единичному шару $X$ не меньше супремума по его части в $Y$). Поэтому $\|f\|=\|f_0\|$.

Следствия и примеры. Для любого $x_0\ne0$ существует $f\in X^*$ с $\|f\|=1$ и $f(x_0)=\|x_0\|$: задаём на $\operatorname{span}\{x_0\}$ функционал $f_0(tx_0)=t\|x_0\|$. Непрерывные функционалы отделяют точки нормированного пространства.

Антипримеры/ограничения. Теорема гарантирует существование, но не единственность продолжения. В комплексном случае доказательство сводят к вещественному через вещественную часть и восстанавливают комплексный функционал.

Типовые вопросы. Почему из $f(x)\le C\|x\|$ следует $|f(x)|\le C\|x\|$? Где сохраняется норма? Как получить функционал, достигающий нормы на заданном векторе?

50Билет 50. Сопряженное пространство. Определение и примеры. Отличие алгебраически сопряженного пространства от сопряженного пространства.

Что отвечать на экзамене. Сначала различить два объекта: алгебраически сопряжённое $E^{\#}$ — все линейные функционалы, а топологически сопряжённое $E^*$ — только непрерывные линейные функционалы. В нормированном пространстве непрерывность функционала равносильна оценке $|f(x)|\le C\|x\|$, поэтому $E^*$ состоит из ограниченных функционалов и само является банаховым пространством с нормой функционала.

Определения.

• $E^{\#}=\{f:E\to\mathbb K: f$ линеен$\}$ — алгебраическое сопряжённое пространство.
• $E^*=\{f\in E^{\#}: f$ непрерывен$\}$ — сопряжённое, или топологически сопряжённое, пространство.
• Норма $f\in E^*$: $\|f\|=\sup_{\|x\|\le 1}|f(x)|=\sup_{x\ne0}\frac{|f(x)|}{\|x\|}$.

Ключевые факты.

• В конечномерном нормированном пространстве все линейные функционалы непрерывны, поэтому $E^{\#}=E^*$.
• В бесконечной размерности обычно $E^*\subsetneq E^{\#}$: есть разрывные линейные функционалы, построение которых связано с базисом Гамеля и аксиомой выбора.
• $E^*$ всегда банахово, даже если $E$ не полно.
• Канонические примеры: $c_0^*\cong\ell_1$, $\ell_1^*\cong\ell_\infty=m$, $\ell_p^*\cong\ell_q$ при $1<p<\infty$, $\frac1p+\frac1q=1$, $H^*\cong H$ для гильбертова пространства.

Примеры и антипримеры.

• На $c_{00}$ всякая последовательность коэффициентов $a=(a_k)$ задаёт алгебраический функционал $f(x)=\sum a_kx_k$, потому что у $x$ конечный носитель. Поэтому $c_{00}^{\#}$ очень велико.
• Если $c_{00}$ рассматривать с нормой $\|x\|_\infty$, то непрерывны только функционалы с $a\in\ell_1$: иначе частичные суммы $\sum_{k=1}^n|a_k|$ не ограничены, и функционал не имеет конечной нормы.
• Функционал $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}x_k$ непрерывен на $c_0$ и имеет норму $1$. Функционал с коэффициентами $a_k=1$ не задаёт непрерывный функционал на $c_0$: ряд может не сходиться для произвольного $x\in c_0$.

Типовые вопросы.

• Почему $E^*$ является подпространством $E^{\#}$? Потому что сумма и скалярное кратное непрерывных линейных функционалов снова непрерывны и линейны.
• Когда $E^{\#}=E^*$? В конечномерном нормированном пространстве.
• В чём практический смысл $E^*$? Его элементы — «координатные измерения» пространства, совместимые с топологией/нормой.

51Билет 51. Доказательство изоморфизма $c_0^*\simeq\ell_1$. Общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве $c_0$.

Что отвечать на экзамене. Нужно доказать, что каждый $f\in c_0^*$ единственным образом имеет вид $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}a_kx_k$, где $a\in\ell_1$, и $\|f\|=\|a\|_1$. Это изометрический изоморфизм $c_0^*\cong\ell_1$.

Определения. $c_0$ — пространство последовательностей $x=(x_k)$, для которых $x_k\to0$, с нормой $\|x\|_\infty=\sup_k|x_k|$. Стандартный базис $e_k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots)$.

Теорема. Отображение $T:\ell_1\to c_0^*$, заданное формулой $$T(a)(x)=\sum_{k=1}^{\infty}a_kx_k,$$ является линейным биективным изометрическим изоморфизмом. Следовательно, $c_0^*\simeq\ell_1$.

Доказательство.

1. Пусть $a\in\ell_1$. Для любого $x\in c_0$ ряд абсолютно сходится:

$$\sum |a_kx_k|\le\|x\|_\infty\sum |a_k|.$$ Значит $f_a(x)=\sum a_kx_k$ корректен, линеен и непрерывен, причём $\|f_a\|\le\|a\|_1$.

2. Для обратной оценки берём $x^{(n)}=(\operatorname{sgn}a_1,\ldots,\operatorname{sgn}a_n,0,\ldots)\in c_0$, $\|x^{(n)}\|_\infty=1$. Тогда

$$|f_a(x^{(n)})|=\sum_{k=1}^n|a_k|.$$ Переходя к супремуму по $n$, получаем $\|f_a\|\ge\sum |a_k|=\|a\|_1$. Значит $\|f_a\|=\|a\|_1$.

3. Теперь пусть $f\in c_0^*$. Положим $a_k=f(e_k)$. Докажем $a\in\ell_1$. Для каждого $n$ рассмотрим $x^{(n)}=(\operatorname{sgn}a_1,\ldots,\operatorname{sgn}a_n,0,\ldots)$. Тогда

$$\sum_{k=1}^n|a_k|=f(x^{(n)})\le\|f\|\|x^{(n)}\|_\infty=\|f\|.$$ Следовательно, частичные суммы ограничены, и $\sum |a_k|\le\|f\|$.

4. Для финитных последовательностей $x$ очевидно $f(x)=\sum a_kx_k$. Финитные последовательности плотны в $c_0$: усечения $(x_1,\ldots,x_n,0,\ldots)$ сходятся к $x$ по $\|\cdot\|_\infty$. По непрерывности $f$ и $f_a$ равенство переносится на все $x\in c_0$.

Примеры. Функционал $f(x)=x_1-\frac12x_2+\frac14x_3-\cdots$ непрерывен на $c_0$, его норма равна $1+1/2+1/4+\cdots=2$.

Типовые вопросы.

• Где используется условие $x\in c_0$? В плотности финитных последовательностей.
• Почему не $\ell_\infty$? Потому что для непрерывности на $c_0$ нужна суммируемость коэффициентов.

52Билет 52. Доказательство изоморфизма $\ell_1^*\simeq m$.

Что отвечать на экзамене. Общий непрерывный функционал на $\ell_1$ имеет вид $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}a_kx_k$, где $a=(a_k)$ ограничена, то есть $a\in m=\ell_\infty$. Норма функционала равна $\|a\|_\infty$.

Определения. $\ell_1=\{x:\sum |x_k|<\infty\}$, $\|x\|_1=\sum |x_k|$. $m=\ell_\infty=\{a:\sup_k|a_k|<\infty\}$.

Теорема. Отображение $a\mapsto f_a$, где $f_a(x)=\sum a_kx_k$, задаёт изометрический изоморфизм $m\cong\ell_1^*$.

Доказательство.

1. Если $a\in m$, то для $x\in\ell_1$

$$|f_a(x)|\le\sum |a_k||x_k|\le\|a\|_\infty\|x\|_1.$$ Значит $f_a\in\ell_1^*$ и $\|f_a\|\le\|a\|_\infty$.

2. Для нижней оценки берём индекс $k$ с $|a_k|$ близким к $\|a\|_\infty$: $|a_k|>\|a\|_\infty-\varepsilon$. На векторе $x=\operatorname{sgn}(a_k)e_k$ имеем $\|x\|_1=1$ и $|f_a(x)|=|a_k|$. Поэтому $\|f_a\|\ge\|a\|_\infty-\varepsilon$, а значит $\|f_a\|=\|a\|_\infty$.
3. Пусть теперь $f\in\ell_1^*$. Положим $a_k=f(e_k)$. Тогда $|a_k|=|f(e_k)|\le\|f\|\|e_k\|_1=\|f\|$, значит $a\in m$ и $\|a\|_\infty\le\|f\|$.
4. Для финитных $x$ имеем $f(x)=\sum a_kx_k$. Финитные последовательности плотны в $\ell_1$, поскольку хвост $\sum_{k>n}|x_k|\to0$. Оба функционала непрерывны, значит равенство верно для всех $x\in\ell_1$.

Примеры.

• $a_k=(-1)^k$ задаёт непрерывный функционал на $\ell_1$ нормы $1$.
• $a_k=k$ не задаёт непрерывный функционал на $\ell_1$: уже значения на $e_k$ неограниченны.

Типовые вопросы.

• Почему в доказательстве не получается $a\in\ell_1$? Потому что норма в $\ell_1$ контролирует сумму $|x_k|$, и достаточно равномерной ограниченности коэффициентов.
• Где используется плотность финитных последовательностей? Чтобы перейти от формулы на $c_{00}$ ко всем $x\in\ell_1$.

53Билет 53. Доказательство изоморфизма $H^*\simeq H$. Общий вид линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве.

Что отвечать на экзамене. Это теорема Рисса о представлении функционала: для каждого $f\in H^*$ существует единственный $y\in H$ такой, что $f(x)=\langle x,y\rangle$ для всех $x\in H$, причём $\|f\|=\|y\|$.

Определения. $H$ — гильбертово пространство, то есть полное пространство со скалярным произведением. В комплексном случае надо зафиксировать соглашение о линейности: здесь считаем скалярное произведение линейным по первому аргументу.

Теорема Рисса. Отображение $J:H\to H^*$, $J(y)(x)=\langle x,y\rangle$, является изометрическим антилинейным или линейным изоморфизмом в зависимости от соглашения о скалярном произведении. В вещественном случае — линейный изометрический изоморфизм.

Доказательство.

1. Для каждого $y\in H$ функционал $f_y(x)=\langle x,y\rangle$ линеен и непрерывен: по Коши–Буняковскому

$$|f_y(x)|\le\|x\|\|y\|,$$ значит $\|f_y\|\le\|y\|$. При $y\ne0$ на $x=y/\|y\|$ достигается $|f_y(x)|=\|y\|$, значит $\|f_y\|=\|y\|$.

2. Пусть $f\in H^*$. Если $f=0$, берём $y=0$. Если $f\ne0$, то $M=\ker f$ — замкнутое подпространство: оно замкнуто как прообраз $\{0\}$ при непрерывном $f$.
3. Так как $f\ne0$, $M\ne H$. Выберем $z\notin M$ и разложим $z=m+u$, где $m\in M$, $u\in M^\perp$; тогда $u\ne0$. Кроме того, $M^\perp$ одномерно: если $u,v\in M^\perp$ и $u\ne0$, то $v-\frac{f(v)}{f(u)}u\in\ker f=M$ и одновременно лежит в $M^\perp$, значит равно нулю.
4. Пусть $e$ — единичный вектор в $M^\perp$. Любой $x\in H$ раскладывается как $x=m+\alpha e$, где $m\in M$. Тогда $f(x)=\alpha f(e)$, а $\langle x,\overline{f(e)}e\rangle=\alpha f(e)$ в комплексном случае при выбранном соглашении. В вещественном случае $y=f(e)e$.
5. Единственность: если $\langle x,y_1-y_2\rangle=0$ для всех $x$, то при $x=y_1-y_2$ получаем $\|y_1-y_2\|^2=0$.

Примеры.

• В $\ell_2$: любой $f\in\ell_2^*$ имеет вид $f(x)=\sum x_ka_k$ с $a\in\ell_2$.
• В $L_2[a,b]$: $f(x)=\int_a^b x(t)\overline{g(t)}\,dt$, где $g\in L_2[a,b]$.

Типовые вопросы.

• Почему нужна полнота? Для теоремы о проекции на замкнутое подпространство.
• Почему $\ker f$ замкнуто? Из непрерывности $f$.

54Билет 54. Линейные операторы. Определение и примеры.

Что отвечать на экзамене. Линейный оператор — отображение между линейными пространствами, сохраняющее линейные комбинации. В нормированных пространствах главный класс — ограниченные/непрерывные линейные операторы $\mathcal L(E_1,E_2)$.

Определения. Оператор $A:E_1\to E_2$ линеен, если $$A(\alpha x+\beta y)=\alpha Ax+\beta Ay$$ для всех $x,y\in E_1$ и скаляров $\alpha,\beta$. Ядро $\ker A=\{x:Ax=0\}$, образ $\operatorname{Im}A=A(E_1)$.

Ключевые факты.

• Ядро линейного оператора — подпространство области определения, образ — подпространство пространства значений.
• В конечномерном случае оператор задаётся матрицей после выбора базисов.
• В нормированных пространствах оператор непрерывен тогда и только тогда, когда существует $C$ такое, что $\|Ax\|\le C\|x\|$.

Примеры.

• Матричный оператор $A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$, $x\mapsto Ax$.
• Дифференцирование $D:C^1[a,b]\to C[a,b]$, $Df=f'$, линейно и непрерывно при норме $\|f\|_{C^1}=\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty$.
• Интегральный оператор $(Af)(t)=\int_a^bK(t,s)f(s)\,ds$.
• Сдвиги в последовательностях: $T_rx=(0,x_1,x_2,\ldots)$, $T_lx=(x_2,x_3,\ldots)$.

Антипримеры.

• Дифференцирование $D:C^1[0,1]\to C[0,1]$ не является непрерывным, если на $C^1$ поставить только норму $\|f\|_\infty$: функции $f_n(t)=\sin nt/n$ имеют малую норму, но производные $\cos nt$ не стремятся к нулю.
• Нелинейное отображение $x\mapsto x^2$ не является линейным.

Типовые вопросы.

• Почему $\ker A$ — подпространство? Если $Ax=Ay=0$, то $A(\alpha x+\beta y)=0$.
• Как доказать линейность интегрального оператора? Использовать линейность интеграла.

55Билет 55. Непрерывность и ограниченность. Теоремы о связи этих понятий с доказательством.

Что отвечать на экзамене. Для линейного оператора между нормированными пространствами непрерывность, непрерывность в нуле, ограниченность по норме $\|Ax\|\le C\|x\|$ и перевод ограниченных множеств в ограниченные эквивалентны.

Определения. Линейный оператор $A:E_1\to E_2$ ограничен, если $\exists C>0$ такое, что $\|Ax\|\le C\|x\|$ для всех $x$. Не путать с «ограничен как функция на всём пространстве»: ненулевой линейный оператор не может иметь ограниченный образ всего бесконечного луча.

Теорема. Для линейного $A:E_1\to E_2$ между нормированными пространствами эквивалентны:

1. $A$ непрерывен на $E_1$;
2. $A$ непрерывен в нуле;
3. $A$ ограничен: $\|Ax\|\le C\|x\|$;
4. $A$ переводит ограниченные множества в ограниченные.

Доказательство.

• $(1)\Rightarrow(2)$ очевидно.
• $(2)\Rightarrow(3)$. Из непрерывности в нуле для $\varepsilon=1$ найдётся $\delta>0$: если $\|z\|<\delta$, то $\|Az\|<1$. Для $x\ne0$ положим $z=\frac{\delta}{2\|x\|}x$. Тогда $\|z\|=\delta/2$, поэтому

$$\frac{\delta}{2\|x\|}\|Ax\|=\|Az\|<1,$$ то есть $\|Ax\|\le\frac{2}{\delta}\|x\|$.

• $(3)\Rightarrow(1)$. Если $x_n\to x$, то

$$\|Ax_n-Ax\|=\|A(x_n-x)\|\le C\|x_n-x\|\to0.$$

• $(3)\Rightarrow(4)$. Если $M$ ограничено и $\|x\|\le R$ на $M$, то $\|Ax\|\le CR$.
• $(4)\Rightarrow(3)$. Единичный шар $B=\{x:\|x\|\le1\}$ ограничен, значит $A(B)$ ограничен: $\|Ax\|\le C$ при $\|x\|\le1$. Для $x\ne0$ применяем это к $x/\|x\|$ и получаем $\|Ax\|\le C\|x\|$.

Примеры. Сдвиги $T_r,T_l$ на $\ell_p$ ограничены и имеют норму $1$. Дифференцирование на $C^1$ в норме $C^1$ ограничено с нормой $1$ как оператор в $C$.

Типовые вопросы.

• Достаточно ли проверить непрерывность в одной точке? Да: для линейного оператора непрерывность в одной точке эквивалентна непрерывности в нуле.
• Что является константой ограниченности? Любое $C$ с $\|Ax\|\le C\|x\|$; наименьшая такая константа — норма оператора.

56Билет 56. Норма оператора. Доказательство теоремы о норме ограниченного оператора в нормированном пространстве. Примеры нахождения нормы.

Что отвечать на экзамене. Норма оператора — точная лучшая константа в оценке $\|Ax\|\le C\|x\|$. Надо знать эквивалентные формулы и уметь находить норму методом «оценка сверху + достигающая или почти достигающая последовательность».

Определения. Для $A\in\mathcal L(E_1,E_2)$ $$\|A\|=\sup_{\|x\|\le1}\|Ax\|=\sup_{\|x\|=1}\|Ax\|=\sup_{x\ne0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}.$$

Теорема. Величина $\|A\|$ конечна для ограниченного оператора, является нормой на $\mathcal L(E_1,E_2)$, и $$\|Ax\|\le\|A\|\|x\|$$ для всех $x$; кроме того, $\|A\|$ — наименьшая возможная константа в такой оценке.

Доказательство. Конечность следует из ограниченности. Однородность: $\|\alpha A\|=\sup_{\|x\|\le1}\|\alpha Ax\|=|\alpha|\|A\|$. Треугольник: $$\|(A+B)x\|\le\|Ax\|+\|Bx\|\le(\|A\|+\|B\|)\|x\|,$$ поэтому $\|A+B\|\le\|A\|+\|B\|$. Если $\|A\|=0$, то $\|Ax\|=0$ на единичном шаре, а по однородности на всём пространстве, значит $A=0$. Оценка $\|Ax\|\le\|A\|\|x\|$ получается применением определения к $x/\|x\|$. Если $C$ — любая константа с $\|Ax\|\le C\|x\|$, то $\frac{\|Ax\|}{\|x\|}\le C$ для всех $x\ne0$, значит $\|A\|\le C$.

Примеры нахождения нормы.

• Тождественный оператор $I$ имеет $\|I\|=1$.
• Сдвиги $T_r,T_l$ в $\ell_p$ имеют норму $1$: верхняя оценка очевидна, равенство на $e_1$.
• Вложение $J:\ell_p\to\ell_q$ при $1\le p<q\le\infty$ имеет норму $1$: $\|x\|_q\le\|x\|_p$, равенство на $e_1$.
• Интегральный оператор $A:C[0,1]\to C[0,1]$, $(Ax)(t)=\int_0^1K(t,s)x(s)\,ds$, имеет

$$\|A\|=\max_{t\in[0,1]}\int_0^1|K(t,s)|\,ds.$$ Верхняя оценка — через модуль интеграла; нижняя — приближением функции $\operatorname{sgn}K(t_0,s)$ непрерывными функциями.

Типовые вопросы.

• Почему супремум по $\|x\|\le1$ равен супремуму по $\|x\|=1$? Для $x\ne0$ нормируем; ноль ничего не добавляет.
• Нужно ли достижение максимума? Нет, в бесконечной размерности норма может не достигаться.

57Билет 57. Сумма и произведение операторов. Свойства этих операторов с доказательством. Свойства пространства $\mathcal L(E_1,E_2)$.

Что отвечать на экзамене. Нужно рассказать, что ограниченные линейные операторы образуют нормированное пространство, операции суммы и композиции сохраняют ограниченность, а если пространство значений банахово, то $\mathcal L(E_1,E_2)$ банахово.

Определения. Для $A,B:E_1\to E_2$ задаём $(A+B)x=Ax+Bx$, $(\alpha A)x=\alpha Ax$. Если $A:E_1\to E_2$, $B:E_2\to E_3$, то произведение/композиция $BA:E_1\to E_3$ задаётся $(BA)x=B(Ax)$.

Свойства с доказательством.

• Линейность суммы: $(A+B)(\alpha x+\beta y)=\alpha(A+B)x+\beta(A+B)y$.
• Ограниченность суммы:

$$\|(A+B)x\|\le\|Ax\|+\|Bx\|\le(\|A\|+\|B\|)\|x\|,$$ значит $\|A+B\|\le\|A\|+\|B\|$.

• Ограниченность композиции:

$$\|BAx\|\le\|B\|\|Ax\|\le\|B\|\|A\|\|x\|,$$ значит $\|BA\|\le\|B\|\|A\|$.

• Композиция ассоциативна: $C(BA)=(CB)A$. В общем случае $AB\ne BA$.

Пространство $\mathcal L(E_1,E_2)$. Это пространство всех ограниченных линейных операторов $E_1\to E_2$ с операторной нормой. Оно является нормированным пространством. Если $E_2$ банахово, то $\mathcal L(E_1,E_2)$ банахово.

Доказательство полноты. Пусть $\{A_n\}$ — фундаментальная последовательность в $\mathcal L(E_1,E_2)$. Для каждого фиксированного $x$ имеем $$\|A_nx-A_mx\|\le\|A_n-A_m\|\|x\|,$$ поэтому $A_nx$ фундаментальна в банаховом $E_2$. Определим $Ax=\lim_n A_nx$. Линейность $A$ следует из перехода к пределу в равенствах для $A_n$. Фундаментальная последовательность операторов ограничена: $\|A_n\|\le M$, поэтому $\|Ax\|\le M\|x\|$. Наконец, если $\|A_n-A_m\|<\varepsilon$ при $n,m>N$, то, переходя $m\to\infty$, получаем $\|A_nx-Ax\|\le\varepsilon\|x\|$, то есть $\|A_n-A\|\le\varepsilon$.

Примеры. Матрицы с обычным произведением; интегральные операторы, где композиция даёт новое ядро $L(t,u)=\int K(t,s)M(s,u)\,ds$.

Типовые вопросы.

• Когда можно умножать операторы? Когда область определения внешнего оператора содержит образ внутреннего.
• Почему полнота зависит от $E_2$, а не от $E_1$? Потому что пределы $A_nx$ берутся в пространстве значений.

58Билет 58. Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе (с доказательством).

Что отвечать на экзамене. Если непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами биективен, то обратный оператор автоматически непрерывен. Это теорема Банаха об обратном операторе; её идея опирается на теорему Бэра.

Определения. Для линейного $A:E_1\to E_2$ обратный оператор $A^{-1}:E_2\to E_1$ существует, если $A$ биективен. Алгебраически он всегда линеен: $A^{-1}(\alpha y_1+\beta y_2)=\alpha A^{-1}y_1+\beta A^{-1}y_2$.

Теорема Банаха. Пусть $E_1,E_2$ — банаховы пространства, $A\in\mathcal L(E_1,E_2)$ биективен. Тогда $A^{-1}\in\mathcal L(E_2,E_1)$.

Доказательство. Достаточно доказать, что $A$ отображает некоторый шар около нуля на множество, содержащее шар около нуля: тогда из $B_{E_2}(0,r)\subset A(B_{E_1}(0,1))$ последует, что для любого $y\ne0$ можно представить $\frac{r}{2\|y\|}y=Ax$ с $\|x\|\le1$, то есть $y=A(\frac{2\|y\|}{r}x)$ и $\|A^{-1}y\|\le\frac{2}{r}\|y\|$.

Так как $A$ сюръективен, $$E_2=\bigcup_{n=1}^{\infty}A(\overline B_{E_1}(0,n)).$$ По теореме Бэра в полном $E_2$ одно из замыканий $\overline{A(\overline B(0,n))}$ имеет непустую внутренность. Значит существуют $y_0$ и $\rho>0$ такие, что $$B(y_0,ho)\subset\overline{A(\overline B(0,n))}.$$ Вычитая две точки из этого шара, получаем $$B(0,ho)\subset\overline{A(\overline B(0,2n))}.$$ После масштабирования: существует $r>0$ такое, что $B(0,r)\subset\overline{A(B(0,1))}$.

Остаётся убрать замыкание. Если $\|y\|<r/2$, выбираем $x_1$ с $\|x_1\|\le1/2$ и $\|y-Ax_1\|<r/4$; затем $x_2$ с $\|x_2\|\le1/4$ и $\|y-Ax_1-Ax_2\|<r/8$, и так далее. Ряд $x=\sum x_k$ сходится в $E_1$, $\|x\|\le1$, а по непрерывности $A x=y$. Поэтому $B(0,r/2)\subset A(B(0,1))$, и обратный ограничен.

Примеры. Обратимая матрица имеет непрерывный обратный оператор. Оператор $I-A$ обратим при $\|A\|<1$ по ряду Неймана.

Типовые вопросы.

• Нужна ли полнота? Да, в доказательстве используются Бэр и сходимость ряда поправок.
• Биективность сама по себе гарантирует непрерывность обратного? В банаховом случае — да при непрерывном исходном операторе; без полноты возможны контрпримеры.

59Билет 59. Лемма о тройке (без доказательства).

Что отвечать на экзамене. Лемма о тройке — факторизационный результат: если оператор $A$ не различает элементы, которые не различает сюръективный $B$, то $A$ проходит через $B$, то есть $A=C\circ B$.

Формулировка. Пусть $A:E_1\to E_2$ и $B:E_1\to E_3$ — линейные операторы, причём $B$ сюръективен и $\ker B\subseteq\ker A$. Тогда существует единственный линейный оператор $C:E_3\to E_2$ такой, что $$A=C\circ B.$$ Единственность следует из сюръективности $B$.

Смысл. Условие $\ker B\subseteq\ker A$ означает: если $Bx_1=Bx_2$, то $x_1-x_2\in\ker B$, значит $A(x_1-x_2)=0$ и $Ax_1=Ax_2$. Поэтому можно корректно определить $C(Bx)=Ax$.

Ключевые факты.

• Лемма чисто алгебраическая: для существования линейного $C$ не нужна топология.
• Чтобы $C$ был непрерывным в банаховом контексте, нужны дополнительные условия; например, в теореме об аннуляторе ядра непрерывность получается из теоремы Банаха об открытом отображении.
• Лемма фактически говорит, что $A$ задаёт оператор на фактор-пространстве $E_1/\ker B$, а при сюръективном $B$ это фактор-пространство изоморфно $E_3$.

Примеры.

• Если $B:\mathbb R^2\to\mathbb R$, $B(x,y)=x+y$, а $A(x,y)=2x+2y$, то $\ker B=\{x+y=0\}\subset\ker A$ и $C(t)=2t$.
• Если $A(x,y)=x$ при том же $B(x,y)=x+y$, то условие не выполнено: на ядре $B$ вектор $(1,-1)$ имеет $A(1,-1)=1\ne0$; факторизации нет.

Типовые вопросы.

• Почему нужна сюръективность $B$? Чтобы определить $C$ на всём $E_3$.
• Как лемма используется в теореме об аннуляторе ядра? Для $f\in(\ker A)^\perp$ получают $f=g\circ A$, а потом доказывают $g\in E_2^*$.

60Билет 60. Теорема о принадлежности оператора классу $GL$ с доказательством. Теорема о представлении $(I-A)^{-1}$ с доказательством.

Что отвечать на экзамене. Главный инструмент — ряд Неймана. Если $\|A\|<1$, то $I-A$ обратим и $$(I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}A^n.$$ Отсюда следует устойчивость обратимости: малое возмущение обратимого оператора остаётся обратимым.

Определения. $GL(E)$ — группа обратимых ограниченных линейных операторов $E\to E$ с ограниченным обратным. В банаховом пространстве обратимость в $\mathcal L(E)$ можно проверять через ряд Неймана.

Теорема Неймана. Пусть $E$ банахово, $A\in\mathcal L(E)$ и $\|A\|<1$. Тогда $I-A\in GL(E)$ и $$(I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}A^n,\qquad \|(I-A)^{-1}\|\le\frac1{1-\|A\|}.$$

Доказательство. Так как $\|A^n\|\le\|A\|^n$, ряд норм $\sum\|A^n\|$ сходится. Полнота $\mathcal L(E)$ даёт существование $S=\sum_{n=0}^{\infty}A^n$. Для частичных сумм $S_N=I+A+\cdots+A^N$ имеем $$(I-A)S_N=S_N(I-A)=I-A^{N+1}.$$ Поскольку $\|A^{N+1}\|\le\|A\|^{N+1}\to0$, переход к пределу даёт $(I-A)S=S(I-A)=I$. Значит $S=(I-A)^{-1}$.

Теорема о принадлежности $GL$ при малом возмущении. Пусть $A_0\in GL(E)$, $\Delta A\in\mathcal L(E)$ и $$\|A_0^{-1}\Delta A\|<1$$ (достаточно $\|\Delta A\|<\|A_0^{-1}\|^{-1}$). Тогда $A_0+\Delta A\in GL(E)$.

Доказательство. Представим $$A_0+\Delta A=A_0(I+A_0^{-1}\Delta A).$$ Положим $B=-A_0^{-1}\Delta A$. Тогда $I+A_0^{-1}\Delta A=I-B$, где $\|B\|<1$, значит этот множитель обратим по Нейману. Произведение двух обратимых операторов обратимо, причём $$(A_0+\Delta A)^{-1}=(I+A_0^{-1}\Delta A)^{-1}A_0^{-1}.$$

Примеры. Если $\|A\|<1$, уравнение $x-Ax=y$ имеет единственное решение $x=\sum_{n=0}^{\infty}A^ny$. Если матрица $A_0$ обратима, то все матрицы достаточно близкие к ней по операторной норме тоже обратимы.

Типовые вопросы.

• Почему нужна полнота? Чтобы сходился ряд операторов.
• Что означает открытость $GL(E)$? Вокруг каждого обратимого оператора есть шар, состоящий из обратимых операторов.

61Билет 61. Матричные производные. Нахождение производных с доказательством.

Что отвечать на экзамене. Производная понимается как производная Фреше: нужно разложить $f(x+h)-f(x)$ на линейную по приращению часть плюс $o(\|h\|)$. Для матриц используются след, цикличность следа, ряд Неймана и формула Якоби.

Определение. $Df(x)$ — линейный оператор, для которого $$f(x+h)-f(x)=Df(x)[h]+o(\|h\|).$$

Производные и доказательства.

1. $f(x)=\langle x,c\rangle$. Тогда

$$f(x+h)-f(x)=\langle h,c\rangle,$$ поэтому $Df(x)[h]=\langle h,c\rangle$, градиент равен $c$.

1. $f(x)=\langle Ax,x\rangle$. Раскрываем:

$$f(x+h)-f(x)=\langle Ah,x\rangle+\langle Ax,h\rangle+\langle Ah,h\rangle.$$ Последний член $O(\|h\|^2)=o(\|h\|)$. В вещественном евклидовом случае $$Df(x)[h]=\langle (A+A^T)x,h\rangle,$$ то есть $\nabla f(x)=(A+A^T)x$. Если $A=A^T$, то $\nabla f(x)=2Ax$.

1. $f(x)=\ln\langle Ax,x\rangle$ на области, где $q(x)=\langle Ax,x\rangle>0$. По правилу цепочки:

$$Df(x)[h]=\frac{Dq(x)[h]}{q(x)}=\frac{\langle (A+A^T)x,h\rangle}{\langle Ax,x\rangle}.$$ Если $A$ симметрична, $\nabla f(x)=\frac{2Ax}{\langle Ax,x\rangle}$.

1. $f(X)=\operatorname{tr}X$. Тогда $\operatorname{tr}(X+H)-\operatorname{tr}X=\operatorname{tr}H$, значит $Df(X)[H]=\operatorname{tr}H$; градиент по Фробениусу равен $I$.

1. $f(X)=X^{-1}$ на $GL_n$. Используем

$$(X+H)^{-1}=(I+X^{-1}H)^{-1}X^{-1}.$$ По ряду Неймана $(I+B)^{-1}=I-B+O(\|B\|^2)$ при малом $B$. Поэтому $$(X+H)^{-1}-X^{-1}=-X^{-1}HX^{-1}+O(\|H\|^2),$$ и $Df(X)[H]=-X^{-1}HX^{-1}$.

1. $f(X)=\det X$. При обратимом $X$:

$$\det(X+H)=\det X\det(I+X^{-1}H).$$ Так как $\det(I+B)=1+\operatorname{tr}B+O(\|B\|^2)$, $$D\det(X)[H]=\det X\operatorname{tr}(X^{-1}H).$$ Эта формула продолжается на все матрицы по полиномиальности определителя.

Типовые вопросы.

• В какой норме берётся $O(\|H\|^2)$? В любой матричной норме в конечной размерности, нормы эквивалентны.
• Что такое градиент матричной функции? Матрица $G$, такая что $Df(X)[H]=\operatorname{tr}(G^TH)$.

62Билет 62. Задача о наиболее близкой к заданной матрице $A$ матрице $X$ по норме Фробениуса.

Что отвечать на экзамене. Норма Фробениуса порождена скалярным произведением $\langle X,Y\rangle_F=\operatorname{tr}(X^TY)$. Поэтому задача о ближайшей матрице к $A$ в линейном подпространстве — это ортогональная проекция $A$ на это подпространство.

Определения. $$\|X\|_F=\sqrt{\operatorname{tr}(X^TX)}=\left(\sum_{i,j}|x_{ij}|^2\right)^{1/2}.$$ Расстояние от $A$ до множества $M$ равно $\inf_{X\in M}\|A-X\|_F$.

Ключевой факт. Если $M$ — конечномерное линейное подпространство матриц, то единственная ближайшая матрица $X_0\in M$ характеризуется ортогональностью $$A-X_0\perp M,$$ то есть $\operatorname{tr}((A-X_0)^TY)=0$ для всех $Y\in M$.

Доказательство критерия. Для $X_0\in M$ и $Y\in M$: $$\|A-(X_0+Y)\|_F^2=\|A-X_0\|_F^2-2\langle A-X_0,Y\rangle_F+\|Y\|_F^2.$$ Минимум при $Y=0$ для всех направлений возможен тогда и только тогда, когда линейный член равен нулю, то есть $A-X_0\perp M$. Тогда формула Пифагора даёт минимальность.

Типовые случаи.

• Ближайшая диагональная матрица к $A$ — $X_0=\operatorname{diag}(a_{11},\ldots,a_{nn})$.
• Ближайшая симметричная матрица к $A$ — $X_0=\frac12(A+A^T)$. Антисимметричная часть $\frac12(A-A^T)$ ортогональна пространству симметричных матриц.
• Ближайшая кососимметричная матрица — $X_0=\frac12(A-A^T)$.
• Если ищем ближайшую матрицу ранга $\le r$ в норме Фробениуса, то по теореме Эккарта–Янга ответ получается усечённым SVD: если $A=U\Sigma V^T$, то $X_r=U\Sigma_rV^T$, где оставлены $r$ наибольших сингулярных чисел.

Примеры/антипримеры. Для выпуклого замкнутого множества ближайшая точка в евклидовом пространстве существует и единственна, если множество строго выпуклое или является подпространством. Для множества матриц ранга ровно $r$ минимум может не существовать, если $A$ имеет ранг меньше $r$; поэтому обычно берут ранг $\le r$.

Типовые вопросы.

• Почему задача сводится к проекции? Потому что норма Фробениуса евклидова.
• Как найти проекцию на подпространство с базисом $F_1,\ldots,F_k$? Решить систему Грама $\sum_i c_i\langle F_i,F_j\rangle=\langle A,F_j\rangle$.

63Билет 63. Сопряженные операторы. Примеры. Теорема о связи нормы оператора и ему сопряженного с доказательством.

Что отвечать на экзамене. Для $A\in\mathcal L(E_1,E_2)$ сопряжённый оператор $A^*:E_2^*\to E_1^*$ действует по формуле $A^*g=g\circ A$. Главная теорема: $\|A^*\|=\|A\|$.

Определение. $$(A^*g)(x)=g(Ax),\qquad x\in E_1,\ g\in E_2^*.$$ Эквивалентно, в спаривании $\langle A^*g,x\rangle=\langle g,Ax\rangle$.

Корректность. Если $g$ непрерывен и $A$ непрерывен, то $g\circ A$ непрерывен; линейность очевидна. Поэтому $A^*g\in E_1^*$.

Теорема. $\|A^*\|=\|A\|$.

Доказательство. Для $g\in E_2^*$: $$\|A^*g\|=\sup_{\|x\|\le1}|g(Ax)|\le\|g\|\sup_{\|x\|\le1}\|Ax\|=\|g\|\|A\|.$$ Значит $\|A^*\|\le\|A\|$. Для обратного неравенства используем следствие Хана–Банаха: для каждого $y\ne0$ существует $g\in E_2^*$ с $\|g\|=1$ и $g(y)=\|y\|$. Берём $y=Ax$ при $Ax\ne0$. Тогда $$\|A^*g\|\|x\|\ge |(A^*g)(x)|=|g(Ax)|=\|Ax\|.$$ Отсюда $\|A^*\|\ge\frac{\|Ax\|}{\|x\|}$. Берём супремум по $x\ne0$: $\|A^*\|\ge\|A\|$.

Примеры.

• В $\mathbb R^n$ сопряжённый оператор — транспонированная матрица: $A^*=A^T$.
• В комплексном евклидовом пространстве — эрмитово-сопряжённая матрица $A^*=\overline A^T$.
• Для сдвига вправо $T_rx=(0,x_1,x_2,\ldots)$ на $\ell_p$ сопряжённый на $\ell_q$ — сдвиг влево $T_lg=(g_2,g_3,\ldots)$.

Типовые вопросы.

• Почему $A^*$ меняет направление стрелки? Потому что функционал на $E_2$ после композиции с $A:E_1\to E_2$ становится функционалом на $E_1$.
• Где нужен Хан–Банах? В доказательстве неравенства $\|A^*\|\ge\|A\|$.

64Билет 64. Теорема об аннуляторе ядра оператора с доказательством. Примеры использования.

Что отвечать на экзамене. Для сюръективного ограниченного оператора $A:E_1\to E_2$ между банаховыми пространствами аннулятор ядра равен образу сопряжённого оператора: $$(\ker A)^\perp=\operatorname{Im}A^*.$$

Определения. Для множества $M\subset E_1$ его аннулятор $$M^\perp=\{f\in E_1^*: f(x)=0\ \forall x\in M\}.$$

Теорема. Пусть $E_1,E_2$ — банаховы, $A\in\mathcal L(E_1,E_2)$ и $\operatorname{Im}A=E_2$. Тогда $$(\ker A)^\perp=\operatorname{Im}A^*.$$

Доказательство.

1. Включение $\operatorname{Im}A^*\subset(\ker A)^\perp$. Пусть $f=A^*g$. Если $x\in\ker A$, то

$$f(x)=(A^*g)(x)=g(Ax)=g(0)=0.$$ Значит $f$ зануляется на $\ker A$.

2. Обратное включение. Пусть $f\in(\ker A)^\perp$, то есть $\ker A\subset\ker f$. По лемме о тройке, так как $A$ сюръективен, существует линейный $g:E_2\to\mathbb K$ такой, что

$$f=g\circ A.$$

3. Нужно доказать, что $g$ непрерывен. По теореме Банаха об открытом отображении сюръективный непрерывный оператор $A$ между банаховыми пространствами открыт. Эквивалентно, существует $c>0$ такое, что для каждого $y\in E_2$ можно выбрать $x\in E_1$ с $Ax=y$ и $\|x\|\le c\|y\|$. Тогда

$$|g(y)|=|g(Ax)|=|f(x)|\le\|f\|\|x\|\le c\|f\|\|y\|.$$ Значит $g\in E_2^*$ и $f=A^*g\in\operatorname{Im}A^*$.

Примеры использования.

• В конечномерной линейной алгебре это формула $(\ker A)^\perp=\operatorname{Im}A^T$.
• В задачах на множители Лагранжа: если экстремум функции $\varphi$ ищется при ограничении $F(x)=0$, то условие $d\varphi$ зануляется на $\ker DF$ означает $d\varphi\in(\ker DF)^\perp=\operatorname{Im}(DF)^*$, то есть $d\varphi=(DF)^*\lambda$.
• Для доказательства плотности образа часто используют двойственный критерий: $\overline{\operatorname{Im}A}=E$ тогда и только тогда, когда $\ker A^*=\{0\}$.

Типовые вопросы.

• Почему нужна сюръективность $A$? Для леммы о тройке на всём $E_2$ и для открытого отображения.
• Почему нужны банаховы пространства? Для применения теоремы Банаха об открытом отображении.

65Билет 65. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Эрмитово-сопряженный оператор. Самосопряженный оператор.

Что отвечать на экзамене. В евклидовом или унитарном пространстве сопряжённый оператор определяется через скалярное произведение: $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle$. В вещественном ортонормированном базисе матрица $A^*$ равна $A^T$, в комплексном — $A^*=\overline A^T$.

Определения.

• В вещественном евклидовом пространстве $A^*$ задаётся равенством $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle$.
• В комплексном унитарном пространстве эрмитово-сопряжённая матрица $A^*$ — это $\overline A^T$.
• Оператор самосопряжён, если $A=A^*$.
• Оператор унитарен/ортогонален, если $A^*A=AA^*=I$.

Ключевые факты.

• Матрица самосопряжённого оператора в ортонормированном базисе симметрична в вещественном случае и эрмитова в комплексном: $A=A^*$.
• Собственные значения самосопряжённого оператора вещественны: если $Ax=\lambda x$, то $\lambda\|x\|^2=\langle Ax,x\rangle=\langle x,Ax\rangle=\overline\lambda\|x\|^2$.
• Собственные векторы самосопряжённого оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
• В конечномерном случае самосопряжённый оператор имеет ортонормированный базис из собственных векторов.

Примеры.

• Матрица $\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ самосопряжённа в $\mathbb R^2$.
• Матрица $\begin{pmatrix}1&i\\-i&2\end{pmatrix}$ эрмитова.
• Матрица поворота на угол $\varphi$ в $\mathbb R^2$ ортогональна, но самосопряжённа только при $\varphi=0$ или $\pi$.

Антипримеры. Матрица $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ не самосопряжённа; её сопряжённая равна $\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$.

Типовые вопросы.

• Почему сопряжённый в евклидовом пространстве действует на том же пространстве, а не на двойственном? Потому что по теореме Рисса функционалы отождествляются с векторами.
• Как проверить самосопряжённость интегрального оператора в $L_2$? Проверить симметрию ядра $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$.

66Билет 66. Спектр оператора. Классификация точек спектра. Доказательство эквивалентности расширенной классификации точек спектра с основной.

Что отвечать на экзамене. Для $A\in\mathcal L(E)$ изучается оператор $A-\lambda I$. Если он биективен и обратный ограничен, $\lambda$ регулярна; иначе $\lambda$ принадлежит спектру. Спектр делится на точечный, непрерывный и остаточный.

Определения. Пусть $T_\lambda=A-\lambda I$.

• $\lambda\in\rho(A)$, если $T_\lambda^{-1}$ существует на всём $E$ и ограничен.
• $\sigma(A)=\mathbb C\setminus\rho(A)$.
• Точечный спектр: $\lambda\in\sigma_p(A)$, если $T_\lambda$ не инъективен, то есть $\exists x\ne0:Ax=\lambda x$.
• Непрерывный спектр: $T_\lambda$ инъективен, $\operatorname{Im}T_\lambda$ плотен, но не равен $E$; обратный существует на плотном образе, но не всюду определён.
• Остаточный спектр: $T_\lambda$ инъективен, но $\overline{\operatorname{Im}T_\lambda}\ne E$.

Основная классификация. Для $\lambda$ возможны три независимых вопроса: есть ли ядро, весь ли образ, плотен ли образ. Если ядро ненулевое — точечный спектр. Если ядро нулевое и образ плотен, но не весь — непрерывный. Если ядро нулевое и образ не плотен — остаточный. Если ядро нулевое, образ весь и обратный ограничен — регулярная точка.

Эквивалентность с расширенной классификацией. В расширенной версии иногда отдельно выделяют случаи: обратный не существует из-за неинъективности; обратный существует как оператор на $\operatorname{Im}T_\lambda$, но образ не весь; обратный существует на плотном образе и неограничен; образ неплотен. Для банахова пространства случай «$T_\lambda$ биективен, но обратный неограничен» невозможен, если $T_\lambda\in\mathcal L(E)$: по теореме Банаха об обратном операторе биективный непрерывный оператор между банаховыми пространствами имеет ограниченный обратный. Поэтому все нерегулярные случаи сводятся к трём типам спектра выше.

Если $T_\lambda$ инъективен и образ плотен, но не весь, то обратный определён на плотном подпространстве. Он не может быть ограниченным в смысле допускающим непрерывное продолжение на всё $E$ с областью всего $E$, иначе образ был бы замкнут и равен $E$; это и есть непрерывный спектр. Если образ неплотен, появляется ненулевой функционал, зануляющий образ, и точка относится к остаточному спектру.

Примеры.

• В конечной размерности спектр только точечный: если $A-\lambda I$ инъективен, то он автоматически сюръективен.
• Левый сдвиг на $\ell_p$: точки $|\lambda|<1$ — собственные, $|\lambda|=1$ — непрерывный спектр.
• Правый сдвиг: точечного спектра нет, открытый единичный круг попадает в остаточный спектр.

Типовые вопросы.

• Почему спектр в конечной размерности — корни характеристического многочлена? Потому что необратимость матрицы эквивалентна нулю определителя.
• Что означает «остаточный»? Образ не плотен, остаётся ненулевой функционал, который весь образ не видит.

67Билет 67. Резольвента. Теорема о регулярной точке оператора. Спектральный радиус. Действия с резольвентой с доказательством. Примеры.

Что отвечать на экзамене. Резольвента $R_\lambda(A)=(A-\lambda I)^{-1}$ определена при регулярных $\lambda$. Надо знать: вне диска $|\lambda|>\|A\|$ точки регулярны, резольвентное множество открыто, спектр замкнут, резольвента удовлетворяет тождеству Гильберта.

Определения. $\rho(A)$ — множество регулярных точек. $R_\lambda(A)=(A-\lambda I)^{-1}$. Спектральный радиус $$r(A)=\max_{\lambda\in\sigma(A)}|\lambda|=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|}$$ для комплексного банахова пространства.

Теорема о регулярной точке. Если $|\lambda|>\|A\|$, то $\lambda\in\rho(A)$ и $$R_\lambda(A)=-\frac1\lambda\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{\lambda^n}.$$

Доказательство. $$A-\lambda I=-\lambda(I-A/\lambda),\qquad \|A/\lambda\|<1.$$ По ряду Неймана $I-A/\lambda$ обратим, значит обратим и $A-\lambda I$. Формула получается непосредственным обращением.

Открытость резольвентного множества. Если $\lambda_0\in\rho(A)$, то $$A-\lambda I=(A-\lambda_0I)\bigl(I-(\lambda-\lambda_0)R_{\lambda_0}\bigr).$$ При $|\lambda-\lambda_0|<\|R_{\lambda_0}\|^{-1}$ второй множитель обратим по Нейману, значит $\lambda\in\rho(A)$. Поэтому $\rho(A)$ открыто, а $\sigma(A)$ замкнут.

Тождество Гильберта. Для $\lambda,\mu\in\rho(A)$ $$R_\lambda-R_\mu=(\lambda-\mu)R_\mu R_\lambda=(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu.$$ Доказательство. Так как $R_\lambda^{-1}=A-\lambda I$, $$R_\lambda^{-1}-R_\mu^{-1}=(\mu-\lambda)I.$$ Умножая слева на $R_\mu$, справа на $R_\lambda$, получаем $R_\mu-R_\lambda=(\mu-\lambda)R_\mu R_\lambda$, что эквивалентно формуле. Аналогичное умножение в другом порядке даёт вторую форму и коммутативность резольвент.

Следствия. Резольвента аналитична на $\rho(A)$, и $R'_\lambda=R_\lambda^2$ при выбранном определении $R_\lambda=(A-\lambda I)^{-1}$.

Примеры. Если $A^2=I$, то $$(A-\lambda I)^{-1}=\frac{A+\lambda I}{1-\lambda^2},\qquad \lambda\ne\pm1.$$ Если $A=0$, то $\sigma(A)=\{0\}$ и $R_\lambda=-\lambda^{-1}I$.

Типовые вопросы.

• Почему $\sigma(A)\subset\{|\lambda|\le\|A\|\}$? Из ряда Неймана для $|\lambda|>\|A\|$.
• Что такое спектральный радиус? Радиус наименьшего замкнутого диска с центром в нуле, содержащего спектр.

68Билет 68. Компактные операторы. Определения и примеры.

Что отвечать на экзамене. Компактный оператор переводит ограниченные множества в предкомпактные. В последовательностной форме: из любой ограниченной последовательности $x_n$ можно выбрать подпоследовательность, для которой $Ax_{n_k}$ сходится.

Определения. $A\in\mathcal L(E_1,E_2)$ компактен, если для любого ограниченного $M\subset E_1$ множество $A(M)$ относительно компактно, то есть $\overline{A(M)}$ компактно. Эквивалентно, $A(B_1)$ предкомпактно для единичного шара $B_1$.

Ключевые факты.

• В конечномерном пространстве любой ограниченный оператор компактен, потому что ограниченные множества предкомпактны.
• В бесконечномерном нормированном пространстве тождественный оператор не компактен: единичный шар не предкомпактен.
• Всякий оператор конечного ранга компактен.
• Норменный предел компактных операторов компактен.

Примеры.

• Оператор ранга один $Ax=f(x)y_0$ компактен: образ ограниченного множества лежит в ограниченном подмножестве одномерной прямой.
• Диагональный оператор на $\ell_2$, $Ax=(\alpha_kx_k)$, компактен тогда и только тогда, когда $\alpha_k\to0$. Доказательство компактности: усечения $A_nx=(\alpha_1x_1,\ldots,\alpha_nx_n,0,\ldots)$ конечного ранга и $\|A-A_n\|\le\sup_{k>n}|\alpha_k|\to0$.
• Интегральный оператор $Af(t)=\int_a^bK(t,s)f(s)\,ds$ с непрерывным ядром $K$ как оператор $C[a,b]\to C[a,b]$ компактен по теореме Арцела–Асколи: образы единичного шара равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Антипримеры.

• $I:\ell_2\to\ell_2$ не компактен: последовательность $e_n$ ограничена, но не имеет сходящейся подпоследовательности.
• Диагональный оператор с $\alpha_k=1$ — это тождественный, не компактен. Если $\alpha_k$ не стремится к нулю, то у $Ae_{n_k}$ можно выбрать подпоследовательность, расстояния между членами которой отделены от нуля.

Типовые вопросы.

• Компактный оператор обязан быть непрерывным? В стандартном определении компактные операторы рассматривают как ограниченные линейные; если линейный оператор всюду определён и компактен в последовательностном смысле, то он ограничен.
• Чем компактность оператора отличается от компактности множества? Оператор компактен, если компактно ведут себя образы ограниченных множеств.

69Билет 69. Основные свойства компактных операторов (без доказательства).

Что отвечать на экзамене. Перечислить свойства: компактные операторы образуют линейное подпространство, устойчивы к композиции с ограниченными операторами и к пределу по операторной норме; конечный ранг даёт компактность; тождественный оператор в бесконечной размерности не компактен.

Основные свойства.

• Если $A,B:E_1\to E_2$ компактны, то $A+B$ компактен; $\alpha A$ компактен.
• Если $A:E_1\to E_2$ компактен, $B:E_0\to E_1$ ограничен, то $AB:E_0\to E_2$ компактен.
• Если $A:E_1\to E_2$ компактен, $C:E_2\to E_3$ ограничен, то $CA:E_1\to E_3$ компактен.
• Если $A_n$ компактны и $\|A_n-A\|\to0$, то $A$ компактен.
• Всякий оператор конечного ранга компактен.
• Если $E$ бесконечномерно, то $I_E$ не компактен.
• Компактный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся в гильбертовых и рефлексивных ситуациях, но это уже более продвинутый факт.

Критерии и полезные признаки.

• Достаточно показать, что образ единичного шара вполне ограничен: для каждого $\varepsilon>0$ покрывается конечным числом шаров радиуса $\varepsilon$.
• Для операторов в $C[a,b]$ часто используют Арцела–Асколи: равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность.
• Для диагональных операторов на $\ell_2$ компактность равносильна стремлению диагонали к нулю.

Примеры.

• Если $A_n$ — усечения диагонального оператора и $\|A_n-A\|\to0$, то $A$ компактен.
• Композиция интегрального компактного оператора с ограниченным оператором остаётся компактной.

Антипримеры и ловушки.

• Норменный предел конечномерных операторов всегда компактен, но не во всяком банаховом пространстве каждый компактный оператор является норменным пределом операторов конечного ранга.
• Сильная поточечная сходимость компактных операторов не гарантирует компактность предела: нужны сходимость по операторной норме или дополнительные условия.
• Ограниченный оператор не обязан быть компактным: тождественный оператор на $\ell_2$ — главный пример.

Типовые вопросы.

• Почему композиция с ограниченным сохраняет компактность? Ограниченный оператор до компактного переводит ограниченные множества в ограниченные, а ограниченный оператор после компактного переводит компактные/предкомпактные множества в предкомпактные.
• Чем полезен конечный ранг? В конечномерном образе ограниченность уже даёт предкомпактность.

70Билет 70. Собственные значения компактного оператора. Теорема о числе собственных значений компактного оператора (с доказательством).

Что отвечать на экзамене. У компактного оператора ненулевые собственные значения не могут иметь бесконечной кратности и не могут иметь ненулевую точку накопления. Поэтому вне любой окрестности нуля их лишь конечное число.

Ключевая теорема. Пусть $A$ — компактный оператор в бесконечномерном нормированном пространстве. Тогда для любого $\varepsilon>0$ множество собственных значений $\lambda$ оператора $A$, удовлетворяющих $|\lambda|\ge\varepsilon$, конечно, если считать с учётом линейно независимых собственных подпространств. В частности, единственная возможная точка накопления ненулевых собственных значений — $0$.

Следствие. Если $\lambda\ne0$ — собственное значение компактного оператора, то собственное подпространство $\ker(A-\lambda I)$ конечномерно.

Доказательство конечномерности собственного подпространства. Если $M=\ker(A-\lambda I)$ бесконечномерно, то на $M$ оператор $A$ равен $\lambda I$. Единичный шар в бесконечномерном $M$ не предкомпактен; можно выбрать последовательность $x_n\in M$, $\|x_n\|=1$, без сходящейся подпоследовательности. Тогда $Ax_n=\lambda x_n$ тоже не имеет сходящейся подпоследовательности, так как $\lambda\ne0$. Это противоречит компактности $A$.

Доказательство отсутствия ненулевых точек накопления. Предположим, что есть бесконечная последовательность различных собственных значений $\lambda_n$ с $|\lambda_n|\ge\varepsilon>0$. Выберем соответствующие собственные векторы $x_n$ так, чтобы $\|x_n\|=1$. Подпространства $$L_n=\operatorname{span}(x_1,\ldots,x_n)$$ строго возрастают. По лемме Рисса можно выбрать $y_n\in L_n$, $\|y_n\|=1$, так что $\operatorname{dist}(y_n,L_{n-1})\ge1/2$.

Оператор $A-\lambda_n I$ переводит $L_n$ в $L_{n-1}$, потому что на базисных собственных векторах $x_k$ при $k\le n$ получаем $(A-\lambda_nI)x_k=(\lambda_k-\lambda_n)x_k$, а для $k=n$ это ноль. Тогда для $m<n$ можно оценить расстояние между $Ay_n$ и $Ay_m$ через отделённость $y_n$ от $L_{n-1}$; стандартно получается нижняя оценка порядка $\varepsilon/2$. Значит последовательность $Ay_n$ не имеет сходящейся подпоследовательности, что противоречит компактности. Следовательно, вне диска $|\lambda|<\varepsilon$ собственных значений конечное число.

Примеры. Диагональный компактный оператор $Ax=(\alpha_kx_k)$ на $\ell_2$ имеет собственные значения среди $\alpha_k$, и если $\alpha_k\to0$, то они могут накапливаться только в нуле.

Типовые вопросы.

• Может ли ноль быть собственным значением бесконечной кратности? Да, например у конечномерного проектора в бесконечномерном пространстве.
• Может ли компактный оператор иметь бесконечно много ненулевых собственных значений? Да, но они должны стремиться к нулю.

71Билет 71. Компактные операторы в гильбертовом пространстве.

Что отвечать на экзамене. В гильбертовом пространстве компактные операторы особенно удобны из-за ортогональности и теоремы Рисса. Компактный самосопряжённый оператор имеет спектральное разложение по ортонормированной системе собственных векторов; общий компактный оператор изучают через $A^*A$.

Определения. $A:H\to H$ компактен, если образ ограниченного множества относительно компактен. Сопряжённый $A^*$ определяется равенством $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle$.

Ключевые факты.

• Если $A$ компактен, то $A^*$ компактен. В гильбертовом пространстве это следует из двойственности и свойств компактности; часто доказывают через слабую компактность или аппроксимации.
• $A^*A$ и $AA^*$ самосопряжённы, положительны и компактны.
• $\|A\|^2=\|A^*A\|$.
• Для компактного самосопряжённого $A$ ненулевой спектр состоит из собственных значений конечной кратности, возможная точка накопления — только $0$.
• Если $A$ компактен, то его сингулярные числа — корни из собственных значений $A^*A$.

Примеры.

• Интегральный оператор в $L_2[a,b]$ с ядром $K\in L_2([a,b]^2)$ является оператором Гильберта–Шмидта и компактен. Если $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$, он самосопряжён.
• Оператор Вольтерра $(Af)(t)=\int_0^t f(s)\,ds$ компактен в $L_2[0,1]$, но не самосопряжён; его сопряжённый $(A^*g)(s)=\int_s^1g(t)\,dt$.
• Диагональный оператор на $\ell_2$ компактен тогда и только тогда, когда диагональные коэффициенты стремятся к нулю.

Антипримеры. Унитарный оператор сдвига на $\ell_2$ не компактен: образы базисных векторов снова образуют ортонормированную последовательность без сходящихся подпоследовательностей.

Типовые вопросы.

• Почему в гильбертовом пространстве важен $A^*A$? Он самосопряжён и положителен, поэтому к нему применима спектральная теория.
• Как проверить компактность интегрального оператора? Через Арцела–Асколи в $C[a,b]$ или через приближение ядра конечными суммами в $L_2$.

72Билет 72. Инвариантные подпространства.

Что отвечать на экзамене. Подпространство $M$ инвариантно относительно $A$, если $A(M)\subset M$. Это означает, что ограничение $A|_M$ является оператором в $M$, и можно изучать оператор по частям.

Определения. Пусть $A:E\to E$ линеен. Подпространство $M\subset E$ называется инвариантным для $A$, если для любого $x\in M$ выполнено $Ax\in M$. Если также $A(M)=M$, иногда говорят о строго инвариантном или редуцирующем в зависимости от контекста. В гильбертовом пространстве $M$ редуцирует $A$, если и $M$, и $M^\perp$ инвариантны.

Ключевые факты.

• $\{0\}$ и $E$ всегда инвариантны.
• Если $x$ — собственный вектор, то $\operatorname{span}\{x\}$ инвариантно.
• Ядро $\ker A$ инвариантно относительно $A$; образ $\operatorname{Im}A$ инвариантен относительно $A$ как подпространство, если рассматривается $A:E\to E$.
• Для многочлена $p$ пространство $\ker p(A)$ инвариантно относительно $A$.
• Если $A$ самосопряжён и $M$ инвариантно, то при дополнительных условиях редуцируемости ортогональное дополнение тоже инвариантно; в частности, если $M$ порождено собственными векторами самосопряжённого оператора, то $M^\perp$ инвариантно.

Примеры.

• Для диагонального оператора на $\ell_2$ любое координатное подпространство, натянутое на часть базисных векторов, инвариантно.
• Для правого сдвига $T_r$ подпространство последовательностей с первыми $n$ координатами ноль инвариантно.
• Для матрицы верхнетреугольного вида подпространство, натянутое на первые $k$ базисных векторов, инвариантно.

Антипримеры. Для поворота плоскости на угол, не равный $0$ или $\pi$, нет одномерных вещественных инвариантных подпространств: ни одна вещественная прямая не переходит в себя.

Связь со спектральной теорией. Наличие собственного значения автоматически даёт нетривиальное инвариантное подпространство. Для компактного оператора в бесконечномерном комплексном банаховом пространстве часто удаётся найти нетривиальные инвариантные подпространства через спектральные свойства; для самосопряжённого компактного в гильбертовом пространстве всё пространство раскладывается в ортогональную сумму собственных направлений и ядра.

Типовые вопросы.

• Чем инвариантность отличается от равенства $A(M)=M$? Инвариантность требует только включения $A(M)\subset M$.
• Почему инвариантные подпространства полезны? Они позволяют записывать оператор блочно и сводить задачу к меньшим пространствам.

73Билет 73. Самосопряженные компактные операторы в гильбертовом пространстве. Теорема Гильберта–Шмидта с доказательством.

Что отвечать на экзамене. Для компактного самосопряжённого оператора $A$ в гильбертовом пространстве существует ортонормированная система собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям, и оператор раскладывается как $$Ax=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n,$$ а ненулевые собственные значения вещественны, конечной кратности и могут накапливаться только в нуле.

Вспомогательные факты.

1. Если $A=A^*$, то $\langle Ax,x\rangle\in\mathbb R$ и спектральные значения вещественны.
2. Собственные подпространства при разных собственных значениях ортогональны: если $Ax=\lambda x$, $Ay=\mu y$, то

$$(\lambda-\mu)\langle x,y\rangle=\langle Ax,y\rangle-\langle x,Ay\rangle=0.$$

3. Если $A$ компактен и самосопряжён, то при $A\ne0$ одно из чисел $\|A\|$ или $-\|A\|$ является собственным значением.

Доказательство вспомогательного утверждения о достижении нормы. Для самосопряжённого $A$ норма связана с квадратичной формой: $$\|A\|=\sup_{\|x\|=1}|\langle Ax,x\rangle|.$$ Берём последовательность $x_n$, $\|x_n\|=1$, на которой $|\langle Ax_n,x_n\rangle|\to\|A\|$. Выбираем знак так, чтобы рассматривать $B=A$ или $B=-A$ и $\langle Bx_n,x_n\rangle\to\|A\|$. Тогда $$\|(\|A\|I-B)x_n\|^2\le 2\|A\|(\|A\|-\langle Bx_n,x_n\rangle)\to0.$$ Так как $B$ компактен, из $Bx_n$ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Из близости $Bx_n\approx\|A\|x_n$ следует, что и $x_n$ имеет сходящуюся подпоследовательность с пределом $x$, $\|x\|=1$. Переход к пределу даёт $Bx=\|A\|x$, то есть $Ax=\pm\|A\|x$.

Теорема Гильберта–Шмидта. Пусть $A:H\to H$ компактен и самосопряжён. Тогда существует конечная или счётная ортонормированная система собственных векторов $e_n$ с ненулевыми собственными значениями $\lambda_n$, такая что:

• $\lambda_n\in\mathbb R$, $\lambda_n\to0$, если их бесконечно много;
• $e_n$ образуют ортонормированный базис в $\overline{\operatorname{Im}A}=(\ker A)^\perp$;
• для любого $x\in H$

$$Ax=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n,$$ а на $\ker A$ оператор равен нулю.

Доказательство. Если $A=0$, всё очевидно. Иначе по вспомогательному утверждению есть собственный вектор $e_1$ с $|\lambda_1|=\|A\|$. Подпространство $H_1=e_1^\perp$ инвариантно относительно $A$: если $x\perp e_1$, то $\langle Ax,e_1\rangle=\langle x,Ae_1\rangle=\lambda_1\langle x,e_1\rangle=0$. Ограничение $A|_{H_1}$ снова компактно и самосопряжённо. Повторяем процедуру: либо процесс заканчивается на нулевом ограничении, либо получаем ортонормированную последовательность собственных векторов.

Ненулевые собственные значения могут накапливаться только в нуле по теореме о собственных значениях компактного оператора. Пусть $M$ — замыкание линейной оболочки всех найденных собственных векторов. Тогда $M$ инвариантно, и $M^\perp$ тоже инвариантно. Если ограничение $A$ на $M^\perp$ было бы ненулевым, по вспомогательному утверждению у него был бы собственный вектор с ненулевым собственным значением, ортогональный всем уже найденным, что противоречит максимальности построенной системы. Значит $A=0$ на $M^\perp$, то есть $M^\perp\subset\ker A$.

С другой стороны, собственные векторы с ненулевыми собственными значениями ортогональны $\ker A$, поэтому $M\subset(\ker A)^\perp$. Получаем $M=(\ker A)^\perp=\overline{\operatorname{Im}A}$. Для $x=x_0+\sum\langle x,e_n\rangle e_n$, где $x_0\in\ker A$, действие оператора равно $$Ax=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n,$$ сходимость следует из $\lambda_n$ ограниченности и неравенства Бесселя; фактически частичные суммы сходятся в норме.

Примеры. Интегральный оператор с непрерывным симметричным ядром $K(t,s)=K(s,t)$ в $L_2[a,b]$ компактен и самосопряжён, поэтому имеет ортонормированную систему собственных функций. Для ядра $K(t,s)=\min(t,s)$ на $[0,1]$ возникают собственные функции синусного типа и положительные собственные значения, стремящиеся к нулю.

Типовые вопросы.

• Почему собственные значения вещественны? Из самосопряжённости.
• Почему возможная точка накопления только ноль? Из компактности.
• Что происходит на $\ker A$? Оператор действует как ноль, это соответствует отсутствующему или нулевому собственному значению.